《时点与圆直线与圆圆与圆的位置关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《时点与圆直线与圆圆与圆的位置关系（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系、基础知识1、 若圆 (x-a)2+(y-b)2 2=r ，那么点 (x 0,y 0) 在圆上x02 ay022 br圆内x02 ay022 br圆外x02 ay022 br2、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：0 相交（1）代数法（判别式法） 0 相切0 相离dr相交（2）几何法，圆心到直线的距离dr相切dr相离一般宜用几何法。3、弦长与切线方程，切线长的求法2（1）弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径 r ，弦长 l ，则 d2 l r 22（3）改写圆方程写出圆的切线方程： （x 0,y 0） 为切点的圆的切
2、线方程，分别以x0 x, y0 y, x0 x, y0 y 改写圆方程中的 x2， y2,x,y224）切线长过圆外一点 P(x0,y0)引圆： x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0) 或(x-a) 2+(y-b) 2=r 2(r0) 的切线2 2 2 2 2则切线长： dx02y02Dx0Ey0Fx0ay0b r 24、圆与圆的位置关系O1O21 r2相离O1O2r1 r2外切r1 r2O1O2r1 r2 相交O1O2r1 r2内切O1O2r1 r2内含5、圆系方程（1）以 （a,b）为圆心的圆系方程：2 xa（2）过两圆C1 :x22y D1xE1yF1点的圆系方程2 ：x2
3、y D1xE1yF1E1 E2 yy b 2 r2 r 0 。0和 C2 :x2 y2 D2x E2y F2 0的交22x2 y2 D2x E2 y F2 0但不含 C21时， l : D1 D2 xF1 F20 为两圆公共弦所在直线方程其中当两圆相切时， L 为过两圆公共切点所在直线的方程。二、题型剖析例 1、（优化设计 P114例 1） 已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 相交于 P,Q两点，O为 原点，且 OP?OQ，求该圆的圆心坐标及半径。解法一设P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2) ，由y1OP?OQ, 得: k OPkOQ= -1 即 1x1y
4、= -1 即 x1x2+y1y2=0 x2另一方面(x 1,y 1),(x 2,y 2) 是方程组xx+22+yy-23+=x0-6y+m=0 的实数解，2即 x1,x 2 是 5x2+10x+4m-27=0 的两个实数根，4m-27x1+x2=-2,x 1x2= 5 1又 P,Q 在直线 x+2y-3=0 上， y1y2=4 (3-x 1)(3-x2)=14 9-3(x 1+x2)+x 1x2m+12将代入得 y1y2=5将代入知： m=3.代入方程检验 ?成立 m=3 圆心坐标为12,3） ，半径为 r122 解法二将 3=x+2y 代入圆的方程知： x2+y2+3 (x+2y)(x-6y
5、)+m29 (x+2y) 2=0, 整理得：2(12+m)x 2+4(m-3)x y+(4m-27)y2=0由于 x0可得(4m-27)( yx ) 2+4(m-3) xy +12+m=0， kOP,xxm+12kOQ是上方程的两根 , 由 kOPkOQ= -1 知: 4mm+-2172 =-1,解得 :m=3. 检验知 m=3满足 . ? 15 圆心坐标为 （ ,3） ，半径为 r22【思维点拨】这是用韦达定理解题的典型题，在以后的圆锥曲线中也有同类型题，注意?的检验练习 1：若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交，则点 P（a,b） 的位置是（ B ） A、在圆上B 、在圆外
6、C 、在圆内 D 、都有可能变式 2、过点 （2，1）的直线中， 被 x2+y2-2x+4y=0 截得的最长弦所在的直线方程是 （ A ） A、 3x-y-5=0 B 、 3x+y-7=0 C 、 x+3y-5=0 D 、 x-3y+1=0例 2、 （优化设计 P114例 1）已知圆 C： （x 1）2 （y 2）2 25,直线l :(2m 1)x (m 1)y 7m 4 0(m R).1） 证明不论 m取什么实数，直线与圆恒交于两点；的形式，此式的成立与(2) 求直线被圆 C 截得的弦最小时的方程 解 () l 的方程为 ( x+y-4 )+m(2x+y-7)=0 即 l 恒过定点(，) 圆
7、心(，) 从而直线 l 恒与圆相交于两点1 ()弦长最小值时， l ? 由 kAC= - 2 , 【思维点拨】 用直线系方程求点。 若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点， 即将原方程改变成： f(x, y)+mg(x,y)=0 m的取值无关，故从而解出定点。 m?R x+y-4=0, 且 2x+y-7=0, 得 x=3, y=1 ， 点在圆内，所以 l 的方程为 2x-y-5=0.通常采用有分离系数法：例 3、过圆 x +y =r (r0) 外一点的方程是 x 0x+y 0y=r 2A、 B，证明直线 ABx0x+y0y=r 2 表示的直线上，所以直线与圆 x 1 2 2 2 2y0)
8、2= 4 (x 02+y02) 即 x2+y2 -x 0x-y 0y=0 又圆的方程是 x2+y2=r 2两式相减得 x0x+y 0y=r 2. 这便是过切点 AB直线 方程。【思维点拨】 (1)体现了曲线与方程的关系； (2)两 圆相减得公共弦直线方程2 2 2 2例 4、已知两个圆 C1：x2+y2=4， C2： x2+y2-2x-4y+4=0 ， 直线 L:x+2y=0 ，求经过 C1和 C2的交点且和 L 相切的圆 的方程。解：设所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y+4+ ( x2+y2-4)=022即(1+ )x 2+(1+ )y 2-2x-4y+4-4=0+y2+2x-4y=0相
9、切，则实数的值为( A)A、 3 或 13B、-3或 13C 、3 或 -13D、-3 或 -13解：平移后直线 x2y30 ，由题意12235 ，所以3 或 135练习 2：把直线 x 2y0 向左平移 1 个单位，再向下平移2 个单位后，所得直线正好P(x 0,y 0)作圆的两条切线，切点分别为证法一 设 A、B的坐标分别为 (x 1,y 1),(x 2,y 2). A 、B在已知圆 x2+y2=r2上，过 A、B的切线方程分别是 x 1x+y 1y=r 2 , x 2x+y 2y=r 222又 P是两切线公共点 , 即有 x1x0+y1y0=r2 , x 2x0+y2y0=r2上面两式表
10、明点 A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) 都在二元一次方程2AB的方程是 x0x+y 0y=r 2.1 2 1 证法二以 OP为直径的圆的方程为 (x- 2 x 0) 2+(y- 22所以圆心为4依题意有1，故所求圆的方程为 x (a-2)(b-2) +3=2 2 +3, 当且仅当 a=b=2+ 2 时，面积有最小值： 2 2 +3.三、小结1. 有关直线与圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定。2. 弦长计算问题要用直角三角形。3直线系，圆系的应用四、【布置作业】 优化设计 P115+y2-x-2y=0 。练习 4： 过两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y
11、 2+6y-28=0 的交点且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆方 程是 ( C )(A)x 2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0(C)x 2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0备用题：例 5 已知与曲线 C：x2+y2-2x-2y+1=0 相切的直线 L交 x 轴、 y 轴于 A、B两点, O为原点 , 且 |OA|=a, |OB|=b (a2,b2)(1) 求证曲线 C与直线 L 相切的条件是 (a-2)(b-2)=2(2) 求线段 AB 中点的轨迹方程(3) 求 AOB面积的最小值 .xy解 依题意得，直线 L 的方程为 + =1 即 bx+ay-ab=0 ，圆 C 的方程为 (x-1) 2+(y-1) 2=1 ab(1) 直线与圆相切 , |a+b2-ab2| =1, 化简 : (a-2)(b-2)=2 a2+b2(2) 设 AB 的 中 点 坐 标 为 (x,y), 则 a=2x,b=2y, 代 入 得 (2x-2)(2y-2)=2, 即1(x-1)(y-1)= 2 (x1,y1)1(3) 由 (a-2)(b-2)=2, 得 ab=2a+2b-2 S AOB= 2 |ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3
