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1、word求解非线性方程的迭代算法研究XXXX学院XX专业XX班,某某 XX 72X000指导教师:XX摘要在利用数学工具研究社会现象和自然现象，或解决工程技术等问题时，很多问题都可以归结为非线性方程根的一种最重要的方法，而迭代法的优劣对于非线性问题求解速度的快慢和结果的好坏都有很大的影响，所以从实际出发，进展高计算效能迭代算法的研究具有重要的科学价值和实际意义.关键词牛顿法;迭代法;非线性方程;收敛的阶;目录1引言32根底知识43 NEWTON迭代法5迭代法的推导5迭代法的收敛74其它迭代格式和变形的牛顿法10其它的迭代的格式10变形的牛顿法11完毕语错误！未定义书签。参考文献13ZUODIA
2、N14Tutor: QuanShuangYan141引言近几十年来，数值工作者们不断在原有的迭代法根底上的提出一些新的迭代格式，事实上这些新方法大多是根据实际情况的需要对经典的迭代格式进展修正和变形，因此Newton法等一系列经典的迭代法就成为我们讨论新的迭代方法的起点.数学家们对这些方法都做了很深入的研究，关于这方面的文章著作也是数不胜数，其中有非常丰富的理论结果和证明技巧是可以借鉴的.最根本的迭代法，自然对我们的讨论也是最核心的，所以在就来重点讨论Newton迭代法.2根底知识非线性方程，就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系，这类方程很多，例如平方关系、对数关系、指数关系、三角函数关
3、系等等.求解此类方程往往很难得到准确解，经常需要求近似解问题.在利用数学工具研究社会现象和自然现象，解决物理、化学、生物、工程技术，甚至社会经济等实际问题时，往往都可以归结为求解某个非线性方程 (11)的根的问题.就方程(11)的形式而言，可能是次多项式：也可能是由多种函数组成的非线性方程.譬如：在人口增长模型中假设某一地区人口的数量随时间连续增长，即，其中N(t)表示该地区在t时刻的人口总数，其中N0为该地区的初始人口总数.但上述模型没有考虑到外部移民的迁入的情况，假如允许移民以某常速率u进入该地区，如此微分方程是其解为：满足方程：、上面这个微分方程的解析解比拟容易求出，所以求解这类问题就可
4、转化为求解非线性方程的问题.谈到解非线性方程，就不得不提迭代法，它是最有效最便利的求解方法.迭代法就是从预知的解的初始近似值(简称初值)开始，采用某种迭代格式构造一近似值序列逐步逼近于所求方程的真解. 对方程(11)求近似根，先将其改写成等价的方程： (12) 所谓等价就是：如果是方程(11)的根，那么；反之如果满足方程(12)，那么.最简单的等价变换是令，当然还可以根据的特点来变换.称为迭代函数，为函数的一个不动点，求的零点就等价于求，将它代入(1.2)式右端，即可求得可以如此反复迭代计算 (13)如果得到的序列有极限 如此迭代方程(13)收敛，我们称(13)为不动点迭代法.不动点迭代法是最
5、简单的迭代法，它是一种逐次逼近的方法.其根本思想是将隐式方程(12)归结为一组显示的计算公式(13)，就是说迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程.但是迭代序列能否作为方程的根的好的近似，或者能否收敛于，以与能否快速的收敛到呢?这些都是我们后面所要探讨的问题.对于一种解法，为了考察它的有效性，一般都要讨论它的收敛性和收敛速度，即考虑在什么样的条件下构造的序列是收敛的，以与序列中的近似值是按什么样的误差下降速度来逼近真解的.迭代过程的收敛条件，一般与方程的性态(函数与解的误差为或者，当充分接近于解时有关系式当r1时，称该迭代法具有越大，误差就下降的越多，收敛速度就越高；越小，误差就下降的越少，收敛
6、速度就越低.3 Newton迭代法对于求解非线性方程 (21)的零点问题，有很多种迭代方法,其中最为著名的就是Newton迭代法 (22)这些迭代法是如何被取得的呢?事实上迭代法的推导方法也是多种多样的.下面我们就以Newton迭代法为例，介绍公式(22)的几个导出途径.方法一，作泰勒级数展开并取线性局部.记是方程(21)的根于是,将右边的二次项去掉，即得令满足，即得公式(22).方法二，重节点反插值.可以把方程(21)的根看做函数有反函数，求根即为求.在处有函数值，即.将在作重节点插值，即得由数学分析可知，如此得.令,此即为公式(22).方法三，为了求曲线与轴的交点，用过()处的切线与轴的交
7、点来近似.因为过的切线方程为，它与轴的交点的横坐标即为.不同于以上三种传统的推导方法，Weerakoon1， (23)可用零阶Newton-Cots求积公式2(矩形公式)来代替(2，3)式中的定积分，并且令，的，将定积分替换为一阶Newton-Cots公式(梯形公式)可得到一个隐格式的迭代法.为了把隐式变为显式,这里由此可以得到一个三阶方法显然这两种方法的不同之处就在于选择的求积公式不同，所以得到了不同的收敛阶.后来，Frontini和Sormani又丰富了Weerakoon和Fernando的结果.通常的插值型求积公式(高于零阶)可以统一记为， (24)其中，i=0，1，2，m-1，是区间0
8、，1上的求积节点，是相应的求积系数且满足条件.把(24)式中的换为是的一个根，令，可得到 (2.5)其中 (26)显然这是一个隐格式，那么用Newton迭代来代替上式中的就可得到一个显式方法 ， (2.7)这里 (28)只要在(25)式中代入不同的求积公式，就可以得到不同格式的迭代法.显然这族迭代法的形式会随着求积公式的变化而变化，计算代价也会随之增加.但是已经证明了由以上推导方法得出的迭代法(除Newton法以外)的收敛阶是独立于求积公式的选择的.换句话说，就是虽然选择不同的求积公式可以得到不同的迭代格式，但是这些迭代法的收敛阶最高只能达到三阶收敛.之所以收敛阶无法提高，我们发现是因为上面的
9、方法在将隐格式转化为显式时，同时提高求积公式的代数精度，如此得到的迭代法的收敛阶就会随之提高. (2.9)众所周知，Newton迭代法形式简单，收敛速度也比拟快，在具体计算中一直都是求解非线性方程(2.9)最重要的迭代方法.数百年来，虽然新的迭代格式层出不穷，然而几乎所有的迭代法的研究都是以Newton迭代法的证明技巧和分析方法为根底的.有关Newton迭代法的收敛性方面的研究是数不胜数，其中有很多理论结果都被借鉴.无论是理论研究还是实际应用，Newton迭代在迭代法的历史上所起的作用是其它任何迭代法所无法替代的.关于Newton迭代法的研究情况已有很长的历史.十九世纪初，Cauchy就在实数
10、空间冗中对Newton法的收敛性进展了初步的研究.但所给的条件涉与求解一阶导数极小值之类的整体条件.1937年，Ostrowski105成功的给出了Banach空间内Newton法的著名的Newton-Kantorovich收敛性定理，关于这方面的文献4和7他给出的收敛条件为：到同型空间y的Frechet可微算子；，假设存在，且；3.，；4.；5.，其中. Kantorovich关于Newton法收敛性的著名工作可以说是解方程算法现代研究的起点.后来有很多数学家都对此定理进展了改良，他们主要是针对上述条件，给出了一些修正条件，来减弱Kantorvich9条件.后来，Wang和Guo将这些收敛性
11、和唯一性定理的条件加以了统一(该条件包括了著名的经典Kantorovich条件)，给出了方程(11)解的唯一性与Newton法的收敛性定理.前面列举的这些收敛性条件都是仅考虑了P7的Lipschitz条件.Huang指出F的二阶的导数在收敛性条件中也是有用的，同时弥补了Kantorvoich条件不能判断从某个指定点出发的Newton迭代序列是否收敛.后来，Gutierrez，zhang分别又将此条件改良.此外Argyros在文献中利用了F的高阶导数信息，提出了两个收敛条件.Kantorovich关于Newton法的收敛性定理一直被视为收敛性分析思想的典X，它的特点是对F可微性要求较弱，但需要F
12、的某阶导数的整体性态.为此在1986年国际数学家大会的大报告上，Smale2用尸的解析性条件取代了Kantorovich的整体性假设(即F的某些阶导数在某个足够大的区域中具有Lipschitz连续的假定).完全只用F在初始点的信息来判断Newton迭代方法的收敛性.这对连续复杂性的研究是极为重要的.为了解脱对F的区域信息的依赖，Smale假设F在x解析(并且F在x的Taylor级数收敛球内这种解析性不被人为破坏)，并且令其中Smale证明存在一个绝对常数，当时，从3和韩丹夫4求得了的最好结果，即.不仅如此，王兴华等人还证明了是半局部行为下的普适常数.这一结果揭示了关于零点数值过程在半局部行为上
13、的统一性.有关Newton法的研究，除了上面所列，还有很多的学者作了大量的研究工作，并且积累了很多的文献.证明迭代法的收敛性的一个很不错的技巧是优函数技术，这是Kantorovich为了证明Banach空间内的Newton迭代法的收敛性而提出来的.Kantorvich在中提出利用优界函数原理的新证法，其思想就是将一个高维迭代过程和另一个一维迭代过程进展比拟，由一维过程的收敛性导出原过程的收敛性.即立足于以下事实：收敛，是个Cauchy序列.作为优函数来证明Newton迭代法的收敛性的.当然还可以根据不同情况使用更高次的代数多项式，用代数多项式作优函数的最大好处是可以得到准确的显式误差估计.另一
14、种是有理多项式.最先被Smale提出，其形式为此优函数不仅可被用来证明各种迭代法在点估计判据下的收敛性，更重要的是，能够在同等条件下比拟不同算法的效率.6和Hernandez7等人对Halley迭代，Chebyshev迭代，Super-Halley迭代，Jarratt型迭代的收敛性进展了一系列工作.在早期的文章中，用到的是四个实序列，现在减少到两个实序列，递归关系在不断的简化.不过无论是优函数方法还是递归法，它们实际上都是逐步归纳的方法.逐步归纳法的实质就是使后面一步迭代的逼近误差小于前一步迭代的逼近误差，在证明迭代过程的收敛性时，运用了每前进一步迭代都不会破坏定理假设条件的技巧.前面表示了这么多，都只是理论方面的分析.那么如何具体使用迭代法来求解非线性方程呢?下面我们就给出Newton迭代法求解方程的具体迭代步骤.以本苹开头列举的非线性方程为例，求解方程：首先确定迭代初值，利用迭代格式：经过几步迭代以后，直到，
