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1、专题十平面向量的线性运算主干知识整合1平面向量的线性运算(1)加法、减法、数乘运算(2)三角形法则、平行四边形法则2两个定理(1)向量共线定理如果存在一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.3核心问题(1)向量的基底运算(2)三角形和四边形中向量的运算要点热点探究探究点一平面向量的基底的运用 在不可以建立坐标系的问题中，一般都牵涉向量的基底的运算基底是指平面内两个不共线向量，在几何
2、图形中常见基底向量多为多边形的边上的向量例1 设e1、e2是夹角为60的两个单位向量，已知e1，e2，xy(x，y为实数)若PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则xy取值的集合为_ 1【解析】 由题意得：|1，又因为PMN是以M为直角顶点的直角三角形，所以有0，即()()0，所以(x1)y)()0，得(1x)y(x1y)0，所以(xy)，即xy1，故xy取值的集合为1【点评】 本题以，为基底构造一个新向量，研究向量所构成图形的特征在处理这类问题时，关键是在于将未知向量拆分为基底向量的线性关系式，这里可以用三角形法则和平行四边形法则以及向量共线定理解题变式题1.设E，F分别是RtABC的斜边BC
3、上的两个三等分点，已知AB3，AC6，则_.10【解析】 ()()|2()|2(6232)10.图101探究点二多边形中向量的线性运算多边形中的向量的线性运算，关键是利用已知向量为基底，将未知向量通过几何条件用基底表示后，再研究图形中的特征例2如图102，在ABC和AEF中，B是EF的中点，ABEF1，CACB2，若2，则与的夹角等于_【解析】 因为ABC中，CACB2，AB1，所以cosCAB，所以.又因为2，所以()() 2，即12，所以1.因为，所以1，即()1，所以1，即1，所以cos，故，即，.【点评】 本题中ABC为确定三角形，线段EF长度为定值，但位置不定，可以绕着点B旋转，所以
4、以，为基底，先建立，与基底的关系，再进行计算这类问题难在未知向量与基底向量之间的关系，比较难建立，本题中关键是利用条件2进行转化关系本题也可以在B点处建立直角坐标系，用坐标进行研究变式题2.等腰直角三角形ABC中，A90，AB，AD是BC边上的高，P为AD的中点，点M、N分别为AB边和AC边上的点，且M、N关于直线AD对称，当时，_.3【解析】 由等腰直角三角形ABC中，A90，AB，AD是BC边上的高，P为AD的中点知，AD1，AP.由知()()，即2().又M、N关于直线AD对称，得|cos135|cos135，故|，所以3.探究点三向量线性运算中的参数的范围向量线性运算中参数取值范围问题
5、，关键是将所给向量的等式或图形条件，转化为参数的等式或不等式条件，从而根据所得条件，求出参数的取值范围例3.在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2y21上相异三点，若存在正实数，使得，则2(3)2的取值范围是_解：(2，)【解析】 记，则由得22cos21，从而由正实数，及|cos|1，得11，且|1.变式题3.如图104，设点P是三角形ABC内一点(不包括边界)，且mn，m，nR，则m2(n2)2的取值范围为_图104(1,5)【解析】 因为点P是三角形ABC内一点(不包括边界)，所以0m，n1,0mn1，根据线性规划的知识，作出如图阴影部分，m2(n2)2表示点P(0,2)到阴影内
6、点的距离的平方，显然到点A(0,1)的距离最近，为1，到点B(1,0)的距离最远，这时m2(n2)25，故所求取值范围为(1,5)规律技巧提炼平面向量的线性运算除了常规加法、减法、数乘、数量积外，还有几个关键要素：(1)基底向量的建立；(2)未知向量与基底向量的关系；(3)向量条件的几何意义；(4)参数取值范围的几何解法专题十一平面向量的坐标运算及数量积主干知识整合1平面向量的数量积ab|a|b|cos.2平面向量的坐标运算若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则加法ab(x1x2，y1y2)减法ab(x1x2，y1y2)数乘a(x1，y1)向量共线abx1y2x2y10距离公式|数量积abx
7、1x2y1y2模|a|垂直abx1x2y1y203.核心问题(1)有关数量积的基本运算(2)有关数量积的定值和最值问题(3)用三角函数研究与向量有关的问题要点热点探究探究点一平面向量的数量积基本运算 平面向量的数量积的基本运算主要包含以下几个方面：一是用定义法或坐标法求解数量积；二是求解向量的模；三是求解向量的夹角例1 (1)设向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，其中0，若|2ab|a2b|，则_.(2)在ABC中，AB1，AC2，O为ABC外接圆的圆心，则_.(1)(2)【解析】 (1)方法一：由|2ab|a2b|得3a28ab3b20，即ab0，从而cos()0.又0，故00)
8、，APO，则APB2，PO，sin，|cos2x2(12sin2)，设y，则y，即x4(1y)x2y0，由x2是实数，所以(1y)241(y)0，y26y10，解得y32或y32.故()min32.此时x.探究点三用三角函数研究向量中的参数取值范围问题在用坐标研究向量问题时，涉及参数取值范围时，建立参数与坐标之间的函数关系较为困难或建立后没有办法研究时，可以用对应的三角函数值表示向量的坐标，再建立参数与三角函数的关系，也是研究问题的一个途径例3 如图112，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为_ 图112【解析】 以A为原点，为
9、x轴正方向，为y轴正方向，建立直角坐标系设P(cos，sin)，因为(1,1)，(cos，sin)，由题意得：解得.又sin1，所以(sin1)11设y，则y，设()22sincos，所以()2cossin，因为，所以()2cossin0，即()22sincos在递增，则()1,4，所以y0，即y在递增，所以()min.【点评】 本题比较困难的是想到将点P坐标设为三角函数，从而引入三角函数来表示参数，之间的关系，本题的第二个难点就是对所得函数的进行一步研究比较困难，其中对于式子的正负研究，需要进行再一次的求导变式题3.平面内两个非零向量，满足|1，且与夹角为135，则|的取值范围_【解析】 如图所示，在OAB中，设OBA，所以，即|a|OAsin，又，故|a|(0，规律技巧提炼1向量的数量积问题主要涉及向量的模、夹角、坐标这三个基本方
