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1、专题勾股定理在动态几何中的应用勾股定理与对称变换（一）动点证明题1.如图，在 ABC 中，AB=AC,2 2 AP,求证：BP X CP=AB- AP;（1）若P为边BC上的中点，连结（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由;（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB AP BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论（二）最值问题2.如图，E为正方形 ABCD的边AB上一点，AE=3 , BE=1, P为AC上的动点，贝U PB+PE的最小值是ADEP3.如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD （不含BB点）上任意一点，
2、(2)当M点在何处时， AM+ CM的值最小;BC将BM绕点B逆时针旋转60。得到BN，连接EN、AM CM. (1)求证： AMBA ENB;当M点在何处时，AM+ BM+ CM的值最小，并说明理由;(3) 当AM+ BM+ CM的最小值为3 1时，求正方形的边长4问题：如图，在 ABC中，D是BC边上的一点，若/长.小明同学的解题思路是：利用轴对称，把 ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决.(1)请你回答：图中BD的长为；ABC中，D 是BC边上的一点，若/ BAD=(2)参考小明的思路，探究并解答问题：如图，在/ C=2/ DAC=30 , DC=2,求 BD 和 AB 的长.
3、BDC图图5阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题：如图1,在厶ABC （其中/ BAC是一个可以变化的角）中， AB=2 , AC=4以BC为边在BC的下方作等边PBC，求AP的最大值。ABc小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将 ABP逆时针旋转60。得到 A BC,连接A A ,当点A落在A C上时，此题可解（如图2）.请你回答：AP的最大值是参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt ABC.边AB=4,PABC内部一点，贝U AP+BP+CP的最小值是（结果可以不化简）APV*B图3C6. 如图，P是等边三角形 ABC内一点
4、，AP=3, BP=4 CP=5求/ APB的度数.A变式 1 : ? ABC 中， / ACB=90o , AC=BC,点 P 是？ ABC 内一点，且 PA=6 , PB=2, PC=4,求/ BPC 的度数变式2A问题：如图 1 , P为正方形 ABCD内一点，且 PA : PB： PC=1 : 2 :CB小娜同学的想法是：不妨设PA=1, PB=2，PC=3设法把PA、PB PC相对集中，于是他将 BCP绕点B顺时针旋转 90。得到 BAE （如图2 ），然后连结 PE，问题得以解决. 请你回答：图2中/ APB的度数为请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：P是等边三角形 ABC内一点
5、，已知/ APB= ,Z BPC= .如图 3 ,115125（1）在图3中画出并指明以 PA、PB PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）求出以PA、PB PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于2CBCPEBBC/ V 7. 已知Rt ABC中，/ ACB=90, CA=CB有一个圆心角为45 ，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线 CE ,CF分别与直线AB交于点M, N.(1)当扇形CEF绕点C在/ ACE的内部旋转时，如图，求证:F图(2)当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式MN 2AM2 BN 2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.E
6、IX /M A图变式1 :如图，在Rt ABCBAC 90 , ACAB,DAE且 BD 3, CE 4, 则DE =:如图，在变式2点A顺时针旋转90 ABC 中，Rt后，得到 AFBAB AC，连接EF，下列结论:AED AEF ;厶ABEACD ; BE DCDE ;BE2DC 2 DE 2其中正确的是(A.;B .； C .;D.45E是斜边BCED（三）其它应用7. 在 ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13 ,求这个三角形的面积.小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1 ），再在网格中画出格点 ABC （即 ABC三个顶点都在小正方形的顶
7、点处），如图1所示.这样不需求 ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.（1）请你将 ABC的面积直接填写在横线上;思维拓展：（2）我们把上述求 ABC面积的方法叫做构图法.若 ABC三边的长分别为 2a 、13a、17a .（a 0 ）,请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的 ABC，并求出它的面积填写在横线上 ;探索创新：一（3 ）若 ABC中有两边的长分别为2a、10a （ a 0 ），且 ABC的面积为2a 2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为中画出所有符合题意的 ABC （全等的.三角形视为同一种情况 ），并求出它的第三条边长填写在横线上.8. 已知/ ABC=90 点P为射线BC上任意一点（点 P与点B不重合），分别以 AB、AP为边在/ ABC的 内部作等边 ABE和厶APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB= 2 3 ，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想 EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=2 3 ，设BP= x ，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的关系式.
