混沌动力学导论第3章

《混沌动力学导论第3章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《混沌动力学导论第3章（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第三章 摆动力学的可视化描述VISUALIZATION OF THEPENDULUM x S DYNAMICS3-0 摆的数学描述和计算机仿真：3-1 对初始条件的敏感性：3-2 摆的相图和蓬加莱截面：3-4 时间序列和功率谱3-5 吸引盆:3-6 分岔图(Bfurcation diagrams)3-0 摆的数学描述和计算机仿真：在这一节我们将讨论下面 4个问题1、驱动摆(driven pendulum)的运动方程：2、产生混沌运动条件。3、参数改变对驱动摆运动发生的影响。4、一个有趣的问题。1、驱动摆的运动方程：摆的运动是一个十分古老的问题。物理学、i=ji=i数学都作了大量的研究，但它仍然

2、是最具魅力的研究课题。首先我们写出驱动摆(driven pendulum,也叫做“强迫振动摆”)的运动方程：dco / dt 二 / q sin 0 + g cos QdO /dt = o(3T)dQ / dt = oD方程组(3-1)中有3个状态变量：0 摆的角位移(angular displacement); 3摆的角速度(angular velocity); d驱动力的相位角(drive phase angle)因此它的轨线在3维相空间描绘。方程(3-1)中也有3个参数：q 阻尼系数(damping factor)；g 驱动力幅值(driving force amplitude)； o

3、驱动力角频率( angular driveDfrequency）。同时考虑3个参数来研究驱动摆的性态，也就是说，在3维相空间和3维参数空间内考 察摆的形态，将是一个十分困难、实际上不 可能完成的任务。我们把3d固定，选择少数几个q值，让g 值在一定的区间充分变化，以观察系统的性 态。(在 Appendix B (Page 207, Listing 4)中有描述 摆运动的计算机程序(Title: Motion)，可供参考。)2、产生混沌运动的条件：产生混沌的必要条件有2条(See: Page 2)：(1) 系统至少要有3个独立的动力学变量；(2) 系统至少要有1项包含了几个动力学变量的非线性项。

4、第（2）个条件是显而易见的，混沌系统是 非线性系统，没有非线性项，就不成其为非 线性系统。那么，第（1）个条件为什么要求至少要有3(请思考。See:Page3“We shall see that three-dimension phase space is sufficient to allow for(a) divergence of trajectories,(b) confinement of the motion to a finiteregionofthephasespaceof the dynamical variables, and(c) uniqueness of the tr

5、ajectory.”)方程( 3-1)满足产生混沌的条件。3、参数改变对驱动摆运动发生的影响。我们已经说过，把角频率3D固定，选取少数几个阻尼系数q值，然后让驱动力幅值g充分地变化，来考察系统的动力学性态。通过在计算机上的仿真，用下面的一组参数 构成的摆可以产生混沌性态：3d=2/3,q=2,0.5WgW15。前 面 提 到 Appendix B 里 的 程 序 是 用 TrueBASIC 语言编写的驱动摆的运动仿真程 序，你能将其改写为C语言程序吗？ (try please）。4、一个有趣的问题。对初始条件的敏感性是混沌的主要特性之 一 。 而用计算 机对混 沌系统进行 仿真(simulat

6、ion),不可避免的从两方面引入 误差：1) 用数值积分法求解微分方程产生的微小不精确性；2) 计算机的有效数字的有限长度引起的误差。由于混沌系统对初始条件的敏感性，这两方 面的误差应该很快被放大，从而导致每次计 算结果应该完全不同。事实上，同一个人用不同的计算机，或者不 同的人用不同的计算机，或者在不同的地方 用不同的计算机，求解同一个混沌系统，得 到了十分类似的几何图形。对这个有趣的问 题如何自圆其说？3-0 摆的数学描述和计算机仿真： 3-1对初始条件的敏感性Sensitivity to initial conditions)在这一节里，我们将讨论以下3个问题1、对初始条件敏感性的含义。

7、2、对初始条件敏感性的另一种描述方法。3、发散与折叠。1、对初始条件敏感性的含义：我们已经多次提到混沌系统的 基本特征就是它对初始条件的敏感性。这一敏感性的含义是：如果两个一样的力学系统分别从初始条件x和x+ 出发，尽 管是一个微小量，在相空间里，两个系统 的动力学演化将很快地相互发散（diverge），see: Page 42,Fig.3.2(a) )。Fig.3.2图中（a）在1个驱动力周期内发散的情形;（b）在半个驱动力周期内发散的情形。2、对初始条件敏感性的另一种描述方法: 观察相空间中混沌摆（chaotic pendulum 的一个状态块（a block of pendulumsta

8、tes)。Page 42, Fig.3.2(b)显示了“一块”初始相点的演化。在半个强迫摆动周期 后，初始的“矩形块”演变成一个细长而弯 曲的面目全非的形状。由于是耗散系统dissipative system ），块的面积随着时 间在收缩。而且，这个块状的相点集合沿着 个方向拉伸（stretch）,沿着另一个方向 收缩（contract）。在相空间的不同点，其 发散方向和收缩方向是不同的，其净结果是 两个相距并不远的点变得相去甚远。3、发散与折叠。对混沌吸引子来说，相空间中相邻两点按指 数速率发散有着更深刻的意义。两相邻相点的轨线为了保持接近而不相交，它们必须自 混沌吸引子。身来回折叠，形成个

9、具有无限薄层的3维NV我们可以想象：在个有限空间内，轨线又 要无限地伸展、发散；又要不能相交，唯 的办法就是拉伸和折叠。在自然界里，蚕吐丝结茧就是在实现一个混 沌吸引子过程。3-0摆的数学描述和计算机仿真:3-1对初始条件的敏感性:3-2摆的相图和蓬加莱截面:1、摆的相图:我们在3维相空间（0、3、d ）中考察驱动摆的轨线。让3=2/3和q=2固定不变，使 g 取不同的值。如 Fig.3.3 所示。当g=0.9时（图a）,系统表现出周期性态。当 g=1.07 和 g=1.47 时，出现了比较复杂的 性态（图b, c）。但是，还是有某些简单性（规律性）。当g=1.5时（Page45, Fig33

10、（d）,轨线极为 复杂，简直可以说到了对描述系统特征没有 用处的地步。驱动摆系统进入了“混沌”状 态。显然，用“轨线”方法来描述摆的动力学行 为已经很不合适。得想另外的办法。2、蓬加莱截面：1）我们可以采用投影的方法或蓬加莱截面 的方法来描述摆的动力学行为。如 Fig34 所示。在Fig. 3.4 （Page46-52）的上半部分显示了摆的轨线在（8、3）相平面（Phase plane上的投影。期运动的轨线变成了一条“闭合轨道（a closed orbit）,似乎发生了轨线相交，这是由于从3维相空间（e、3、d “压缩”到2维相空间（8、3）的结果， 实际上轨线并没有相交。在相空间中，动力 学

11、系统的运动轨线绝不可能相交。Fig.3.4 的下半部分显示了蓬加莱截面（PoincarG Section）。它们是一些垂直于3维相空间d轴的“切片”（slices）。动力学 系统的轨线与这些“切片”的交点同样“刻 画”了动力学系统的特征。简洁明了，这是 蓬加莱截面（PoincarG Sec tion ）的优点。 图中的（a）、（b）、（d）、（e）和（f）显示 出有限个点，刻画了运动轨线的“周期特 征”；而图（c）和（g）则是一个无数点的 “复杂集合”，它刻画出运动轨线的“混沌 学特征”。面，我们分别讨论这些情况：Fig 34, (a) g=0.9,上图是轨线在(、3 )平面上的投影;下图是蓬

12、加莱 截面，截面上有一个点,说明是:周期1的一一每经过1 个循环后又回到原来的相位。11FH1r 1 I1111.b I I J 1 111111LI-351012Fig. 3.4, (b) g=107, a period doubling 上图是轨线在(、3)平面上的投影，有2个不重合 的闭合轨线;下图是蓬加莱截面,截面上有2个点，说 明是:周期2的每经过2个循环后又回到原来的相 位，叫做：倍周期。B耳.3.d com.Fig. 34,（c）g=i.i5,上图是轨线在（、3 ）平面上的投影，有无数个不重 合的闭合轨线；下图是蓬加莱截面,截面上有无数个 点,说明是：“混沌的”意味着“周期无限长

13、”即“非 周期的”）。Fit J-4 turt!.Eg 34,(d)g=1.35,随着g值的增加，系统再次呈现出周期性。上图是在 相平面(、3)上的投影；下图是蓬加莱截面。 显然是周期1的，但是与前一个周期有所不同。lr321 1-11r*1 1ti1b- 11112 U1- 11-311 1.132-1*佰）Fig.Fig. 34,(e)g=1.45,随着g值的增加，系统再次呈现出倍周期性。上图是 在相平面(、3)上的投影；下图是蓬加莱截面。 显然是周期2的，但是与前一个倍周期有所不同一一 出现了另一个倍周期。3-4贮和忙Fig. 34,（f） g=1.47,;随着g值的增加，系统紧接着再次

14、呈现出倍周期性。 上图是在相平面（e、3）上的投影；下图是蓬加 莱截面。显然是第2次倍周期，即“倍周期的倍周期”,4倍周期，或简称：“周期4”）。厠F也3*4巴呼ftLFig. 3.4，（g）g=i.50,随着g值的增加，系统再次呈现出混沌性态。上图是 在相平面（、3）上的投影；下图是蓬加莱截面。这是另一个“混沌状态”。2)蓬加莱截面(Poincar Sections)的形 状是随着它在轴上的不同位置而变化的。这些蓬加莱截面的形状虽然不同，但是这些 形状的“聚集程度”(aggregate)却是类似 的，都反映了同一个混沌吸引子的动力学性 态。随着相位增加，在蓬加莱截面上呈现出， 混沌吸引子被反复地拉伸 (stretched)、折 叠(folded),好象“揉搓”面团一样，做 成一个“千层饼”。 = n时的蓬在图3.5中