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1、 5-1-3-1.数阵图教学目标1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题知识点拨。一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步:区分数阵图中的普通点（或方格）和关键点（或方格）；第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围
2、;第三步:运用已经得到的信息进行尝试。这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.例题精讲模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1的数填到下图中,使每个四边形中顶点的数字和相等。【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯,年级,第6题【答案】【例 2】 将18这八个自然数分别填入下图中的八个内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上。应如何填?【考点】封闭型数阵图 【难度】星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）。由条件得出以下四个算式：+c=14（） cde14 （2) e+
3、g=14 (3） +h+=14 （4)由（）+(），得:a+c+e+g28，（a+c+de+fg+）(d+）=8，d+h=（12+3+6+7+8)-28=,由(）+（4），同样可得b+f8，又,2,3，4，5，,7，8中有1+7=2+63+5=8.又1要出现在顶点上，d+h与bf只能有2+和35两种填法。又由对称性,不妨设=,=6，d=3，h=5。，c，e，可取到，,，8若=1，则c14（1+2）=11,不在1， 4，8中,不行。 若=1，则a=4(+2)1，不行 若e=，则1（13)=10,不行。 若g=1,则a=8，c=，7。 说明：例题为封闭型数阵,由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶
4、点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口。【答案】【例 3】 在如图6所示的内填入不同的数,使得三条边上的三个数的和都是12,若A、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。【考点】封闭型数阵图 【难度】星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第1题，分【解析】 设三个顶点为D，E，求D，E,F。观察容易发现，三条边的和为6，即D+A+E+C+F+B+D36 8+2（D+F）6,所以+EF=【答案】【例 4】 将至这六个数字填入图中的六个圆圈中（每个数字只能使用一次）,使每条边上的数字和相等。那么，每条边上的数字和是 .【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 如图,用
5、字母表示各个圆圈中的数，那么每条边上的数字和为，由于最小为，最大为,所以每条边上的数字和最小为17,最大为20，如下两图为每条边上的数字和分别为1和20时的填法.而每条边上的数字和能否为或9呢？答案是否定的,现说明如下。如果每条边上的数字和为18，那么，而,即，得到,与题意不符，所以每条边上的数字和不能为8如果每条边上的数字和为，类似分析可得到，也与题意不符,所以每条边上的数字和不能为9.所以每条边上的数字和为1或0【答案】17或20【例 5】 将1到8这个自然数分别填入如图数阵中的个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么和两个圆圈中所填的数之差（大数减小数）是_【考点】封闭型数阵
6、图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】208年,学而思杯，五年级,4年级，第4题【解析】 方法一:如图用字母来表示各个圆圈中的数字，设各条直线上的三个数之和都为,那么，所以，,而，所以，那么是3的倍数.如果,得；如果，得，这两种情况下和的差都为4，所以和两个圆圈中所填的数之差(大数减小数）是4.方法二:设各条直线上的三个数之和都为，,即，所以，,由于，即，因此有,，综合有，,所以和两个圆圈中所填的数之差(大数减小数）是4。【答案】4【例 6】 如图所示，圆圈中分别填人到9这个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是1，则中间两个数A与B的和是_。【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填
7、空【关键词】希望杯,六年级，二试，第题,4分【解析】 若每个正方形中数的和都是18，那么总和为54,而这1个数的和为，其中A、B各多算了一次，故+B=9。【答案】【例 7】 把1这个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个的正方形中的4个数之和相等.那么,这个和数的最小值是多少？【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空【解析】 第一步：首先确定数阵图中的关键方格，即相邻两个正方形相交的两个方格;第二步：计算三个正方形内4个数之和的和,显然这个和能被3整除，其中有两个数被重复计算了两次，而，除以3余2，因此被重复计算的两个数的和被3除余1，这两个数取2、5时，这个和取得最小
8、值；第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个正方形中的4个数之和的最小值为4,构造各个正方形中其他几个数使每个正方形中的数的和为24,如图,所以所求的最小值是24【答案】2【例 8】 下图中有五个正方形和个圆圈，将填入圆圈中,使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等。那么这个和是多少?【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为，则由个正方形四角的数字之和，相当于将12相加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得：，解得,即这个和为6.具体填法如右上图.【答案】2【例 9】 如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形,现在把2、4、6、8四个数
9、分别填在大正方形的四个顶点;再把2、4、8分别填在中正方形的四个顶点上;最后把2、6、8分别填在小正方形的四个顶点上。能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等?能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数;如果不能，请说明理由 【考点】封闭型数阵图 【难度】星 【题型】填空 【解析】 不能如果这8个三角形顶点上数字之和都相等,设它们都等于。考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是,在它们的和中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的、4、6、各出现二次,即.得到,但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数5,因此这8个三角形顶点上的数字之和不可能
10、都相等.由于三角形3个顶点上的数字之和最小为,最大为,可能为6、8、1、22、4，共有10个可能的值,而三角形只有8个，所以是有可能做到8个三角形的顶点上数字之和互不相同的根据对称性，不妨舍去这10个可能值的首尾两个，把剩下个值（8、1、12、1、1、1、20、2)作为个三角形的顶点上数字之和进行尝试，可以得到满足条件的填法，右上图就是一种填法。【答案】【例 10】 将16分别填入下图（1)中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完【考点】封闭型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，将圆圈内先填上字母,如图（2）
11、所示:1+a+c=3，510+e+g=4,71+bd=，11+8+f+=34,cd+ef34，化简得:ac0 46. e+g9 3+19，61=19 b+d13 1+1=1， +=1521=5,3+12=15. ，,d，e,f,，应分别从1,2，3,4,6，2,13，16中选取。因为+=1，所以只能选+c=4+6; b+d=，只能选b+d=13；e+g=19，只能选=36;f15,只能选f+h=2+13若=，c=4，则e+f=34-14=29,有=1，f=13.若=,c=6，则e+f=34=2，那么e、f无值可取,使其和为27.若=12，c=4,则e=34-1-48，有=16，f=2。若d=2
12、,=6，则+=4-1-6=6,有e=，f=13.解：共有三个解(见图）.【答案】【例 11】 一个33的方格表中,除中间一格无棋子外，其余梅格都有4枚一样的棋子,这样每边三个格子中都有枚棋子，去掉4枚棋子，请你适当调整一下,使每边三格中任有12枚棋子，并且4个角上的棋子数仍然相等（画图表示).【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级,初赛【解析】 因为每个角上的棋子分别被两条边共用，根据这一特点可以将边上的棋子减少，同时增加角上的棋子数。具体操作如图：【答案】【例 12】 如果将右图分成四块，每块上的数的和都相等，那么每块的和是 【考点】复合型数阵图 【难度】
13、4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 根据题目给的数字计算所有的数字和为：,分成四块的，每块的数字和为：，所以,，具体分法如上图.【答案】模块二、辐射型数阵图【例 13】 把191,1992,1993,194，1分别填入图2的5个方格中，使得横排的三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和.则中间方格中能填的数是_.【考点】辐射型数阵图 【难度】星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级,复赛，第10题【解析】 由题意,横行两端两个数的和应该等于竖列两端两个数的和,也就是除去中间方格中的数,其余的四个数可以分为和相等的两组。所以中间方格中能填的数为：，。【答案】中间方格能填的数可以为：，答案不唯一【例 14】 请你把17这七个自然数，分别填在下图（）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？【考点】辐射型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在圆圈中标上字母,如下图(2)，设a+e=+c+fg=，则(a+）（+c+f)+（ad+g)3k 3a+c+e+f+g=3k a（b+ce+f+g)=k 2a(1+3+5+6)3
