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1、北京市东城区普通校2013-2014学年高三12月联考数学(理)试卷命题校:65中 2013年12月本试卷共 10 页, 150 分,考试用长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。选出符合题目要求的一项填在机读卡上。1. 已知集合,则( )(A) (B) (C) (D) R2. 在复平面内,复数对应的点在( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3. 等差数列中,则等于( )(A)28(B)14(C)3
2、.5(D)74. 已知,为不重合的两个平面,直线,那么“”是“”的( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5. 若向量,满足,且,则与的夹角为( )(A) (B) (C) (D)6. 某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( ) (A)(B)(C)(D)7. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是 ( )(A) (B) (C) (D)8. 已知函数的定义域为,若存在常数,对任意,有,则称为函数给出下列函数:;是定义在上的奇函数,且满足对一切实数均有其中是函数的序号为 ( )(A) (B) (C) (D)第卷(非选择题,共110分)二
3、、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。9. 命题“”的否定是 .10. 过双曲线的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程 是 .(结果写成一般式) 11. 若实数满足条件则的最大值为_.12. 设,则的大小关系是_.(从小到大用“”连接)13. 曲线与直线及轴所围成的图形的面积为 14. 无穷等差数列的各项均为整数,首项为、公差为,是其前项和,3、21、15是其中的三项,给出下列命题;对任意满足条件的,存在,使得99一定是数列中的一项;对任意满足条件的,存在,使得30一定是数列中的一项;存在满足条件的数列,使得对任意的N,成立。其中正确命题为 。(写出所有正确命题的序号)三
4、、解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15(本小题满分分)已知函数的图象如图所示.()求的值;()设,求函数的单调递增区间.16(本小题满分分)设中的内角,所对的边长分别为,且,.()当时,求角的度数;()求面积的最大值.17(本小题满分13分)在三棱锥中,和是边长为的等边三角形,是中点()在棱上求一点,使得平面; ()求证:平面平面;()求二面角的余弦值18(本小题满分13分)已知数列是等差数列,,数列的前n项和是,且 .()求数列的通项公式;()求证:数列是等比数列;()记,求证:.19(本小题满分分) 已知函数 ()若曲线在点处的切线与直线垂直,求实数
5、的值; ()讨论函数的单调性; ()当时,记函数的最小值为,求证:20(本小题满分分) 已知椭圆 经过点其离心率为. ()求椭圆的方程;()设直线与椭圆相交于A、B两点,以线段为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆上,为坐标原点.求的取值范围.高三数学(理科)参考答案(以下评分标准仅供参考,其它解法自己根据情况相应地给分)一.选择题题号12345678答案BCBACDCD二、填空题9. 10. 11. 12. 13. 14. (答对1个给2分,有错误答案不给分)三、解答题 15(本小题满分13分)解:()由图可知,, -2分又由得,又,得, -4分()由()知: -6分因为 -9分 所以
6、,即 -12分故函数的单调增区间为.-13分16. (本小题满分13分)解:()因为,所以. -2分因为,由正弦定理可得. -4分因为,所以是锐角,所以. -6分()因为的面积, -7分所以当最大时,的面积最大.因为,所以. -9分因为,所以, -11分所以,(当时等号成立) -12分所以面积的最大值为. -13分17.(本小题满分13分)()当为棱中点时,平面. -1分证明如下:分别为中点, -2分又平面,平面平面. -4分()连结,为中点,, ,. -5分同理, ,. -6分又,. -7分,平面. -8分平面平面平面. -9分()如图,建立空间直角坐标系.则, -10分, .由()知是平面
7、的一个法向量. -11分设平面的法向量为,则 .令,则,平面的一个法向量. -12分.二面角的平面角为锐角,所求二面角的余弦值为 -13分18.(本小题满分13分)解:(1)由已知 -2分 解得 -3分 -4分(2)由于, 令=1,得 解得, -5分当时, 得 , -6分 -7分又, -8分数列是以为首项,为公比的等比数列 -9分(3)由(2)可得 -10分 -11分 -12分,故 -13分19. (本小题满分14分) 解:(I)的定义域为. -1分 . -2分 根据题意,有,所以, -3分 解得或. -4分(II).-5分 (1)当时,因为,由得,解得;由得,解得. 所以函数在上单调递增,在上单调递减. -7分 (2)当时,因为,由得 ,解得;由得,解得. 所以函数在上单调递减,在上单调递增. -9分(III)由()知,当时,函数的最小值为, 且 , -10分 令,得. 当变化时,的变化情况如下表:0极大值 -12分是在上的唯一极值点,且是极大值点,从而也是的最大值点. 所以 .-13分 所以,当时,成立. -14分20(本小题满分14分)解:()由已知可得,所以 -1分 又点在椭圆上,所以 -2分 由解之,得. 故椭圆的方程为. -5分 () 由