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1、北京市东城区普通校2013-2014学年高三12月联考数学（理）试卷命题校：65中 2013年12月本试卷共 10 页， 150 分，考试用长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。选出符合题目要求的一项填在机读卡上。1. 已知集合，则( )（A） （B） （C） （D） R2. 在复平面内，复数对应的点在( )（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3. 等差数列中，则等于( )（A）28（B）14（C）3
2、.5（D）74. 已知，为不重合的两个平面，直线，那么“”是“”的( )（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件5. 若向量，满足，且，则与的夹角为( )（A） （B） （C） （D）6. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A）（B）（C）（D）7. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是 ( )（A） （B） （C） （D）8. 已知函数的定义域为，若存在常数，对任意，有，则称为函数给出下列函数：；是定义在上的奇函数，且满足对一切实数均有其中是函数的序号为 ( )（A） （B） （C） （D）第卷（非选择题，共110分）二
3、、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9. 命题“”的否定是 .10. 过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程 是 .(结果写成一般式) 11. 若实数满足条件则的最大值为_.12. 设，则的大小关系是_.（从小到大用“”连接）13. 曲线与直线及轴所围成的图形的面积为 14. 无穷等差数列的各项均为整数，首项为、公差为，是其前项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题；对任意满足条件的，存在，使得99一定是数列中的一项；对任意满足条件的，存在，使得30一定是数列中的一项；存在满足条件的数列，使得对任意的N，成立。其中正确命题为 。（写出所有正确命题的序号）三
4、、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（本小题满分分）已知函数的图象如图所示.（）求的值；（）设，求函数的单调递增区间.16（本小题满分分）设中的内角，所对的边长分别为，且,.（）当时，求角的度数；（）求面积的最大值.17（本小题满分13分）在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，是中点（）在棱上求一点，使得平面； （）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值18（本小题满分13分）已知数列是等差数列,，数列的前n项和是，且 .（）求数列的通项公式；（）求证：数列是等比数列；（）记，求证：.19（本小题满分分） 已知函数 （）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数
5、的值； （）讨论函数的单调性； （）当时，记函数的最小值为，求证：20（本小题满分分） 已知椭圆 经过点其离心率为. （）求椭圆的方程；()设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点.求的取值范围.高三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一.选择题题号12345678答案BCBACDCD二、填空题9. 10. 11. 12. 13. 14. （答对1个给2分，有错误答案不给分）三、解答题 15（本小题满分13分）解：（）由图可知,， -2分又由得，又，得， -4分（）由（）知： -6分因为 -9分 所以
6、，即 -12分故函数的单调增区间为.-13分16. （本小题满分13分）解：（）因为，所以. -2分因为，由正弦定理可得. -4分因为，所以是锐角，所以. -6分（）因为的面积， -7分所以当最大时，的面积最大.因为，所以. -9分因为，所以， -11分所以，（当时等号成立） -12分所以面积的最大值为. -13分17.（本小题满分13分）（）当为棱中点时，平面. -1分证明如下：分别为中点， -2分又平面，平面平面. -4分（）连结，为中点，, ，. -5分同理, ，. -6分又,. -7分,平面. -8分平面平面平面. -9分（）如图,建立空间直角坐标系.则， -10分， .由（）知是平面
7、的一个法向量. -11分设平面的法向量为，则 .令，则，平面的一个法向量. -12分.二面角的平面角为锐角，所求二面角的余弦值为 -13分18.（本小题满分13分）解：（1）由已知 -2分 解得 -3分 -4分（2）由于， 令=1，得 解得， -5分当时， 得 ， -6分 -7分又, -8分数列是以为首项，为公比的等比数列 -9分（3）由（2）可得 -10分 -11分 -12分，故 -13分19. （本小题满分14分） 解：（I）的定义域为. -1分 . -2分 根据题意，有，所以， -3分 解得或. -4分（II）.-5分 （1）当时，因为，由得，解得；由得，解得. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. -7分 （2）当时，因为，由得 ，解得；由得，解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. -9分（III）由（）知，当时，函数的最小值为， 且 ， -10分 令，得. 当变化时，的变化情况如下表：0极大值 -12分是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值点. 所以 .-13分 所以，当时，成立. -14分20（本小题满分14分）解：（）由已知可得，所以 -1分 又点在椭圆上，所以 -2分 由解之，得. 故椭圆的方程为. -5分 () 由
