资源描述
3.2.3 空间的角的计算
[基础达标]
如图,四棱锥S–ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是__________.
①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角;④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角.
解析:易证AC⊥平面SBD,因而AC⊥SB,①正确;AB∥DC,DC⊂平面SCD,故AB∥平面SCD,②正确;由于SA,SC与平面SBD的相对位置一样,因而所成的角相同.
答案:④
已知直线l1的一个方向向量为a=(1,-2,1),直线l2的一个方向向量为b=(2,-2,0),则两直线所成角的余弦值为__________.
解析:cos〈a,b〉===,
所以两直线所成角的余弦值为.
答案:
若直线l的方向向量为a=(-2,3,1),平面α的一个法向量为n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值等于__________.
解析:sin θ===.
答案:
若一个锐二面角的两个半平面的法向量分别为m=(0,0,3),n=(8,9,2),则这个锐二面角的余弦值为__________.
解析:cos θ===.
答案:
如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是________.
解析:不妨设棱长为2,选择基向量{,,},则=-,=+,
所以cos〈,〉=
==0,
故异面直线AB1和BM所成角的大小是90°.
答案:90°
在一个二面角的两个面内各有一个与二面角的棱垂直的向量n1=(0,-1,3)和n2=(2,2,4),则这个二面角的余弦值为__________.
解析:由cos〈n1,n2〉==,知这个二面角的余弦值为或-.
答案:或-
在平面直角坐标系中,已知A(2,3),B(-2,-3),沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A-Ox-B,使∠AOB=90°,则cos θ等于__________.
解析:过A、B分别作x轴垂线,垂足分别为A′、B′(图略),则AA′=3,BB′=3,A′B′=4,OA=OB=,
折后,∠AOB=90°,∴AB==,
由=++,
得||2=||2+||2+||2+2||·||·cos(π-θ).
∴26=9+16+9+2×3×3×cos(π-θ),
∴cos θ=.
答案:
在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,ABCD为正方形,且PD=AB=1,G为△ABC的重心,则PG与底面ABCD所成角的正切值为__________.
解析:
连结BD,则G∈BD,由PD⊥面ABCD知∠PGD为所求角.因为PD=AB=1,G为△ABC重心,所以DG=BD=.因此tan∠PGD==.
答案:
如图所示,有一长方形的纸片ABCD,长AB=4 cm,宽AD=3 cm,现沿它的一条对角线AC把它折叠成120°的二面角,求折叠后BD的长.
解:作DE⊥AC,BF⊥AC,点E,F为垂足,
则AC==5 cm,
DE=BF=4×= cm,
AE=CF== cm,
EF= cm.
折叠后,DE、EF、FB的长度保持不变,
且||2=(++)2
=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=||2+||2+||2+2||||cos 60°
=()2+()2+()2+2×()2×=,
∴BD= cm,即折叠后BD的长为 cm.
如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a.
(1)建立适当的空间直角坐标系,并写出点A,B,A1,C1的坐标;
(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
解:(1)如图所示,以点A为坐标
原点,以AB所在直线为y轴,AA1所在直线为
z轴,以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为x轴,建立空间直角坐标系.由已知得A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,a),C1(-a,,a).
(2)取A1B1的中点M,则M(0,,a),连结AM,MC1,有=(-a,0,0),且=(0,a,0),=(0,0, a),
∴·=0,·=0,∴MC1⊥AB,MC1⊥AA1,∵AB∩AA1=A,∴MC1⊥平面ABB1A1.
∴与所成角即为所求的角.
∵·=0++2a2=a2,
||= =a,
||= =a,
∴cos〈,〉==,
∴〈,〉=30°,即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
[能力提升]
如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为__________.
解析:以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),M(1,,1),C(0,1,0),N(1,1,),
∴=(0,,1),=(1,0,).
∴cos〈,〉=
==.
答案:
如图,将等腰直角三角形ABC沿中位线DE将其折成60°的二面角A-DE-B,则直线AB与平面BCDE所成角的正切值是__________.
解析:如图,∵DE⊥平面ADC,
∴∠ADC为二面角A-DE-B的平面角,即∠ADC=60°,
又AD=DC,∴△ADC为正三角形.
由平面ADC⊥平面BCDE,过A作AF⊥DC于F,则AF⊥平面BCDE,
∴∠ABF为AB与平面BCDE所成角.
设AD=1,则在Rt△AFB中,
AF=,BF==,
∴tan∠ABF===.
答案:
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.
(1)证明:DC1⊥BC;
(2)求二面角A1–BD–C1的大小.
解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点,故DC=DC1.
又AC=AA1,可得DC+DC2=CC,所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以DC1⊥平面BCD.
因为BC⊂平面BCD,所以DC1⊥BC.
(2)由(1)知BC⊥DC1,且
BC⊥CC1,则BC⊥平面ACC1A1,所以CA,CB,CC1两两相互垂直.
以C为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
由题意知A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).
则=(0,0,-1),
=(1,-1,1),=(-1,0,1).
设n=(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量,则
即
可取n=(1,1,0).
同理,设m=(x,y,z)是平面C1BD的法向量,
则即
可取m=(1,2,1).
从而cos〈n,m〉==.
故二面角A1-BD-C1的大小为30°.
(创新题)如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2a,AD=a,点E是SD上的点,且DE=λa(0<λ≤2).
设二面角C-AE-D的大小为θ,直线BE与平面ABCD所成的角为φ,若tan θ·tan φ=1,求λ的值.
解:以D为原点,,,的方向分别作为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(0,0,λa),
∴=(a,0,-λa),=(0,a,-λa),=(-a,-a,λa).
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),
则由n⊥,n⊥得,即.
取z=,得n=(λ,λ,).
易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为=(0,0,2a)与=(0,a,0).
∴sin φ==,
cos θ==.
∵0<θ,φ<,λ>0,
∴tan θ·tan φ=1⇔θ+φ=⇔sin φ=cos θ⇔=⇔λ2=2,由λ∈(0,2],解得λ=,即为所求.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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