资源描述
3.2.3 空间的角的计算
[基础达标]
如图，四棱锥S–ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是__________．
①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角；④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角．
解析：易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，①正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，②正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．
答案：④
已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2，1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2，0)，则两直线所成角的余弦值为__________．
解析：cos〈a，b〉＝＝＝，
所以两直线所成角的余弦值为.
答案：
若直线l的方向向量为a＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值等于__________．
解析：sin θ＝＝＝.
答案：
若一个锐二面角的两个半平面的法向量分别为m＝(0，0，3)，n＝(8，9，2)，则这个锐二面角的余弦值为__________．
解析：cos θ＝＝＝.
答案：
如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________．
解析：不妨设棱长为2，选择基向量{，，}，则＝－，＝＋，
所以cos〈，〉＝
＝＝0，
故异面直线AB1和BM所成角的大小是90°.
答案：90°
在一个二面角的两个面内各有一个与二面角的棱垂直的向量n1＝(0，－1，3)和n2＝(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为__________．
解析：由cos〈n1，n2〉＝＝，知这个二面角的余弦值为或－.
答案：或－
在平面直角坐标系中，已知A(2，3)，B(－2，－3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A－Ox－B，使∠AOB＝90°，则cos θ等于__________．
解析：过A、B分别作x轴垂线，垂足分别为A′、B′(图略)，则AA′＝3，BB′＝3，A′B′＝4，OA＝OB＝，
折后，∠AOB＝90°，∴AB＝＝，
由＝＋＋，
得||2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos(π－θ)．
∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)，
∴cos θ＝.
答案：
在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成角的正切值为__________．
解析：
连结BD，则G∈BD，由PD⊥面ABCD知∠PGD为所求角．因为PD＝AB＝1，G为△ABC重心，所以DG＝BD＝.因此tan∠PGD＝＝.
答案：
如图所示，有一长方形的纸片ABCD，长AB＝4 cm，宽AD＝3 cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成120°的二面角，求折叠后BD的长．
解：作DE⊥AC，BF⊥AC，点E，F为垂足，
则AC＝＝5 cm，
DE＝BF＝4×＝ cm，
AE＝CF＝＝ cm，
EF＝ cm.
折叠后，DE、EF、FB的长度保持不变，
且||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝||2＋||2＋||2＋2||||cos 60°
＝()2＋()2＋()2＋2×()2×＝，
∴BD＝ cm，即折叠后BD的长为 cm.
如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a.
(1)建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，A1，C1的坐标；
(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
解：(1)如图所示，以点A为坐标
原点，以AB所在直线为y轴，AA1所在直线为
z轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系．由已知得A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1(－a，，a)．
(2)取A1B1的中点M，则M(0，，a)，连结AM，MC1，有＝(－a，0，0)，且＝(0，a，0)，＝(0，0, a)，
∴·＝0，·＝0，∴MC1⊥AB，MC1⊥AA1，∵AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.
∴与所成角即为所求的角．
∵·＝0＋＋2a2＝a2，
||＝ ＝a，
||＝ ＝a，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
[能力提升]
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为__________．
解析：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，M(1，，1)，C(0，1，0)，N(1，1，)，
∴＝(0，，1)，＝(1，0，)．
∴cos〈，〉＝
＝＝.
答案：
如图，将等腰直角三角形ABC沿中位线DE将其折成60°的二面角A－DE－B，则直线AB与平面BCDE所成角的正切值是__________．
解析：如图，∵DE⊥平面ADC，
∴∠ADC为二面角A－DE－B的平面角，即∠ADC＝60°，
又AD＝DC，∴△ADC为正三角形．
由平面ADC⊥平面BCDE，过A作AF⊥DC于F，则AF⊥平面BCDE，
∴∠ABF为AB与平面BCDE所成角．
设AD＝1，则在Rt△AFB中，
AF＝，BF＝＝，
∴tan∠ABF＝＝＝.
答案：
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.
(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1–BD–C1的大小．
解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.
又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.
因为BC⊂平面BCD，所以DC1⊥BC.
(2)由(1)知BC⊥DC1，且
BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．
以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
由题意知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2)．
则＝(0，0，－1)，
＝(1，－1，1)，＝(－1，0，1)．
设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则
即
可取n＝(1，1，0)．
同理，设m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，
则即
可取m＝(1，2，1)．
从而cos〈n，m〉＝＝.
故二面角A1－BD－C1的大小为30°.
(创新题)如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．
设二面角C－AE－D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tan θ·tan φ＝1，求λ的值．
解：以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(0，0，λa)，
∴＝(a，0，－λa)，＝(0，a，－λa)，＝(－a，－a，λa)．
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
则由n⊥，n⊥得，即.
取z＝，得n＝(λ，λ，)．
易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为＝(0，0，2a)与＝(0，a，0)．
∴sin φ＝＝，
cos θ＝＝.
∵0<θ，φ<，λ>0，
∴tan θ·tan φ＝1⇔θ＋φ＝⇔sin φ＝cos θ⇔＝⇔λ2＝2，由λ∈(0，2]，解得λ＝，即为所求．
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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