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1、数学建模烤肉模型摘要：本模型模拟一块肉从开始加热到被烤熟的过程，运用的主要科学依据是傅里叶传热定律和牛顿冷却定律。为了使该过程便于用数学模型表达，我们在合理的范围内对过程进行了简化。运用我们的模型，只要给出肉的厚度，和需要的烤熟程度，就能得到所需要的时间。本模型思路清晰，结构明确，是物理和数学完美结合的一个典型实例。在模型的建立过程中，我们十分注重数学思想和方法的运用，尽可能的把一些抽象的概念量化，以便于把问题用数学语言表达，然后将整个过程分解，逐步求解，然后运用归纳法，总结出整个烧烤过程的规律。这充分体现了科学来源于实践、科学指导实践的思想。一块肉能否被烤熟，烤熟的程度，烤熟后的质量好坏，受
2、很多因素的影响，比如烤的方式，肉本身的特征，外界环境，烧烤的时间，是否有人工干预等等。要在一个数学模型中考虑到如此多的因素，是十分困难的，也是不符合科学规律的。因此我们应该找出影响肉被烤熟这一过程中的主要因素，然后进行重点分析，最终达到我们想要的结果。本模型注重实际，充分运用数学方法和物理思想，最终顺利求解决题目问题，取得了良好的结果。并且所得到的结论和模型可以推广到烧烤以及其它领域，用于理论上的指导。具有一定的实际价值。关键词烤肉模型 傅里叶定律 牛顿冷却定律 归纳法问题重述：为了避免在烧烤时把鸡肉烤焦，人们希望精确地估算烧烤时间，希望有一套指导烧烤的规则。当一块肉的内部最低温度达到某一值时
3、, 这块肉就算烤好了, 这温度值取决于肉的类型和熟透的程度. 考虑与烧烤时间相关的各因素. 查阅相关资料, 建立数学模型, 自拟一套合理烧烤的规则。 问题分析与基本思路： 肉类烧烤是一个涉及到热物理的过程，对这一过程我们可以简单的描述为肉从热源上吸收能量，然后温度升高，同样，肉被加热，温度高于室温，能量从肉上流向周围空气，使肉的温度有所降低。由于肉吸收能量的速度比释放能量的速度快，肉上的能量会不断积累，最终温度不断升高直至被烤熟，达到人们的要求。在本模型中，我们限定肉的外形为长方体，且肉的厚度均小于其长度和宽度，烧烤的方式为单一平面热源对肉的某一面进行烧烤，人为的每隔一定时间对肉块进行翻转，并
4、且忽略翻转所用的时间。这些限定与假设均来源于生活实际，是非常合理的，经过最终的模型验证，也是正确的。现在分析对这一过程会有影响的因素。肉的初始温度和室温。肉的初始温度越高，肉被烤熟所需要的能量就越少，所用的时间也就越少。同样，室温越高，在烧烤过程中散出的热量也就会越少，所需要的时间也会减少。肉的体积形态。根据傅里叶定律，在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。肉的面积越大，所需要的热量越多。肉的厚度越厚，热源的能量越难以传到中心层，肉也会越难熟。热源的种类及强度。热源单位时间释放的能量越多，烧烤所需要
5、的时间越少。热源散热时越均匀烧烤的效果越好，对肉是否熟也就更好判断。烧烤时所采用的方法。如果我们将肉看成是一个厚度均匀的片体，为了使肉两面都成熟，我们应该每隔一段时间将肉块翻转。基本思路。我们把肉块看成是一个厚度均匀的片体，其中的一面放在热源上烤另一面与空气接触，由于肉的温度高于空气温度，这一面会向外界散热。这就是说肉块在烧烤过程中不断的翻转，肉块的两面交替着吸热与散热直至被烤熟。我们可以把问题分解成子问题，最终综合起来求解：.正面被加热。.反面散热。.根据翻转的特征将以上连个过程联系起来得到我们最终的模型。根据以上划分情况我们针对各个问题给出了具体的方案。 .正面被加热过程。根据傅里叶定律结
6、合我们的模型实际，肉块作为一个平面物体且平面上每一点被均匀加热。因此我们只需考虑一个方向上的热传导。即取定律中的第一个式子： 式子中矢量 为热流密度，表示肉块的传热系数， 表示材料的温度梯度。此式表征了能量从热源传递到肉块的整个过程。肉块中的温度梯度与热量的传播方向互为反方向。另外热流密度的标量q与热源传播出来的能量有以下关系 上式中，Q为热量， t为时间 ，S为截面面积，表示热流密度大小等于热源散发出的热量与受热物体的受热面积和受热时间的乘积之比。散热面 加热面 . 反面散热过程。根据牛顿冷却定律，上表面处于自然冷却的状态，热量散失的速率和上表面与外界的温度之差（T T0）成正比。即： 式中
7、k0与散热面的表面光洁度，表面温度，外界温度有关，称为散热系数。此式就是牛顿散热定律的微分形式。求解上式 两端积分得 最终得到 由初始条件得 t=0时，室温为20 ，TF温度为105 ， 可得 C=TF-T0t=30s时，肉片表面温度变为94，代入数据得：K=-0.0046则物体在散热过程中温度随时间变化的关系可表示为：画成函数图像如下图所示： .考虑人工翻转对这一过程的影响。假设执行烧烤的人每隔一定的时间翻转一次（30秒），那么肉块的两个表面交替地进行着受热散热过程。以其中一个面为例： 与热源靠近，吸热 2n*30t(2n+1)*30 与热源背离，散热 (2n+1)*30t(2n+2)*30
8、 n 非负整数。模型假设：1. 所考的肉为一块厚度、组成结构均匀的柱体体模型。2. 肉在烧烤前温度均匀且与室温相同，假设为20度3. 在烧烤过程中，热源与肉的表面平行，即肉被均匀加热。4. 在烧烤过程中，热源保持恒定，单位时间释放的热量不变；外界温度也保持不变5. 肉从开始加热到被烤熟，每隔30秒翻转一面，翻转时间忽略不计。6. 由于已经假设外界温度保持恒定不变，因此不考虑空气的对流，热量仅以热传导和热辐射的形式在各个系统间传递。7. 在翻转过后，与热源接触的一面温度迅速升高到热源温度，这一过程持续的时间设为无限小。符号说明： m 肉块的质量（单位g）d 肉块内部某一层距离下表面的厚度（单位
9、mm）D 肉块的整体厚度（单位mm）Q 加热或散热过程中物体吸收或者散失的能量（单位J）Q吸 肉块加热过程中吸收的能量（单位J）Q散 肉块散热过程中散失的能量（单位J）Q0 肉块受热表层温度升高到热源温度所需要的能量（单位J）T0 肉块的初始温度（单位K）TF 热源的温度（单位K）TC 肉块中心层的温度（单位K）c 肉块的比热容（单位J/(kg*)t 时间（单位 S）q 热流密度（单位W/m2） 加热时在物体吸收能量为Q，所用时间为t的情况下，物体的温度变化量（单位K） 某特定物体在自身温度高于外界温度情况下，进过时间t后，温度的降低值（单位K） S 肉块的面积 （单位 m2） 、 表征能量随
10、时间变化快慢的系数（单位S） 传热系数（单位w/(m*k) ）模型的建立与求解：根据题目要求，当肉块内某一点温度达到一个具体值时，我们就可以判定该肉块被烤熟，以及熟的程度。我们取中间层作为判断标准。经过查找相关资料，给出中心层温度与肉块熟的程度的关系如下表。 表1中心层温度（）858174686356514646绝对温度（K）355.15351.15344.15338.15333.15326.15321.15316.15316.5肉块成熟度全熟九分熟八分熟七分熟六分熟五分熟四分熟三分熟未成熟下面我们将根据分析思路中的三个过程来求解模型。肉的成熟度与其中心层的温度、加热的时间、加热时吸收和散失的
11、热量以及人的干预有关，归根到底，肉的成熟过程就是一个从外界吸收能量然后导致自身状态发生变化的过程，因此肉吸收与散失的能量的多少与肉的成熟有直接关系。将傅里叶定律的表达式积分与热流密度的计算公式 联立起来，并且都化成标量形式可得： 即 对于给定的肉块其厚度d，横截面积s，传热系数均为已知值，将它们整理成系数k0，即k0= 。上式变为Q=k0*(T2-T1)*t，散热和吸热是互逆的两个过程，它们之间存在着某种联系，另外，在不同的时间段肉块吸收的热量是不同的这一点将在后面的论述中给出。随着烤肉过程的持续进行，肉块的平均温度越来越高，这个温度与热源温度的差距越来越小而与外界温度的差距越来越大，因此肉块
12、吸热的能力越来越小，散热的能力越来越大。在不同时期，相等的一个时间段，肉块吸收或者散失的热量是不相等的。通过上面的等式可以看到，对于给定的能量，温度的变化和时间成反比；对于给定的时间，温度的和时间成正比。因此我们可以初步判定在一定条件下，肉块单位时间吸收或者散失能量的多少与时间存在反比例的关系。而且根据上面的分析单位时间肉块吸收的能量与时间的变化是负相关的，而单位时间肉块散失的能量与时间的变化时正想关的。我们取一个参考标准，以肉块表层从室温T0升高到热源温度TF为基础，傅里叶定律指出，肉块内部的温度将呈现梯度变化，设肉块的中心层温度TC ，肉块的比热容为c，在此种情况下肉块吸收的能量为Q0=m
13、*c*(TC-T0)现在我们假设肉块单位时间内吸收与散失的能量与时间之间存在以下关系： Q吸 = Q散 = 、 为系数。肉块吸热和散热特征已表示清楚，可以开始模拟烧烤过程。从肉块侧面观察，将肉块简化为矩形，并且分成三层，分别为上下两个表面A,B；中间层C，以这三个面考虑吸热散热的情况，以中间层的温度来判断肉块是否被烤熟。如下图所示 A表面 C中间层 B表面进行一次翻转之后，肉块示意图如下： B表面C中间层A表面每隔30秒为一个时间段，先逐段求解，然后总结出规律，归纳成最终模型。表2时间A表面B表面C中心层0T0T0T030TF60TF90TF120TFn *30与n的奇偶性有关与n的奇偶性有关根据上表，在第n*30秒时，中心层的温度可表示为： 此式中还有唯一的一个变量Qi有待求解,根据前述分析有Q吸 =这表示的是一个瞬时量，而中的Qi是个过程量，因此要求Qi必须先通过上式积分
