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1、第五章习题课：IIR数字滤波器的设计一、重点内容滤波器是指能够使输入信号中某些频率分量充分地衰减，同时保留需要的频率分量的一类系统，滤波器在信号传输与信号处理中起重要作用。模拟滤波器和数字滤波器的概念相同，只是信号的形式和实现滤波的方法不同。模拟滤波器要用硬件 电路来实现，而数字滤波器是把输入序列通过一定的运算变换成所要求的输出序列，从而完成滤波功能。 因此，数字滤波器就是一个离散时间系统。本章逻辑思路是数字滤波器设计概述；模拟滤波器设计；脉冲响应不变法；双线性变换法；IIR数字滤波器的频率变换和其它设计法。1 .数字滤波器设计概述1.1 数字滤波器的分类(1)经典滤波器和现代滤波器经典滤波器
2、即一般滤波器，用于分离加性组合的信号，要求输入信号中有用频谱和希望滤去的频谱各 占不同的频段，通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的。现代滤波器理论研究的主要内容是从含有噪声的数据记录中估计出信号的某些特性或信号本身。该滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特性导出一套最佳的估值算法。比较以上两种滤波器，它们的区别有：a.信号和干扰的频带相互是否重叠。b.滤波方式不一定在频域实现。(2) IIR和FIR滤波器数字滤波器的差分方程的一般形式为NMy(n)-1： aky(n-k户，brx(n-r) k=1r =0如果式中ak = 0, k =1, 2, N,这就是FIR DF,如果式中a
3、k有非零值，这就是IIR DF。这两类滤波器无论在性能上还是在设计方法上都有很大区别，所以我们在设计DF时按此角度分类DE(3)低通、高通、带通、带阻滤波器我们通常用的数字滤波器是选频滤波器，选频滤波器按其幅频特性来分可分成低通(LP)、高通(HP)、带通(BP)和带阻(BS)四种类型。这四种滤波器理想的幅频响应如P.133图5-1所示，由图可见：a.数字滤波器的频率响应都是以2兀为周期的，LP频带处于2兀的整数倍附近，而 HP频带处于 兀的奇数倍附近，这一点和模拟滤波器的频率响应有区别。b.有时为了简化，也因为幅频响应的偶对称和周期性，在绘制数字滤波器幅频响应时，只给出s =0 叼部分特性，
4、这完全是可以的。c.图中的幅频特性是理想的特性，在实际中是不可实现的，因为它们所对应的单位脉冲响应有过冲和 振铃现象，而且是非因果的。所以可以想见，我们设计出的滤波器都是在某些准则下对理想滤波器的近似， 但这保证了物理可实现，而且能保证因果稳定。1.2 技术指标描述滤波器的指标通常在频域中给出，由前面的讨论可知：H(ej0) = H(z) z工= H(ej?e$s由上式可知系统频响H(ej)可以由系统函数 H(z)得到，所以设计IIR数字滤波器就是设计相应技术指标要求下的H j ,这等同于设计 H (z),而幅频特性 H (e心)则表示信号通过滤波器后频率成分衰减的情况，所以IIR数字滤波器通
5、常就是用H(ej巧作技术指标。理想滤波器是非因果的，而实际滤波器必须是物理可实现的，所以一定是因果的，另外还要考虑(逼 近后)系统的易实现性和成本问题，所以实际的数字滤波器总是在通带中允许一定的容限，阻带中允许另 外一个容限，而且在通带与阻带之间有一个过渡带。P.133图5-2是典型IIR低通滤波器的幅频响应容限图。在设计IIR数字滤波器时，并不是直接作H(ej)的容限图，而是作 出 u样板图，即用 H(ej)再定义一个设计参数 口，称口为衰减值，其定义为二=20 lg1H (ej叼.化数字信号处理原理及实现第五章习题课第1页共26页例如低通滤波器的技术指标描述包括通带截止频率(边界频率)切口
6、 ,及在0 =0 e处最大衰减U 0，0fppp p定义为= 20lg1H(ej力I归一化H(e为归一化H(ej p)H(ej0)还包括阻带截止频率(边界频率)0s,及在* =s处的最小衰减C(s, s定义为二 20lg1H(ej叼.化H (ejlKl)H (e )归一化共四个技术指标 0 、 0s、 a。、 0fs p s p s可以想见高通、带通和带阻数字滤波器的技术指标与低通类似，亦用 8a样板图给出。由于在数字滤波器中 切是用弧度表示的，而从实际任务中明确技术要求时是用实际频率f (单位Hz)表示的，所以需用公式 8 =2冗f来转换。即f 口指标到g指标必须给定采样fs频率fs (单位
7、Hz)。1.3 设计方法(1)设计数字滤波器的一般步骤就广义而言，数字滤波器是一个用有限精度算法实现的线性时不变离散时间系统。设计一个滤波器的 一般步骤是：a.按照实际需要确定滤波器的T能要求，通常就是0 7-样板图。b.用一个因果稳定的系统函数H(z)去逼近这个性能要求。c.用一个有限精度的算法去实现这个系统函数。在上面三个步骤中，第二步是关键。由于 IIR数字滤波器的系统函数为M、bZH(z)=T1 、akZk 4MI 1 (1 -CrZJ)= K 一 K N1II (1 -dkz )k(M . N)所以iir滤波器的设计，在数学上讲，就是求出各系数ak、br或者dk、cr ,使滤波器性能
8、逼近给定的性能要求。(2)设计IIR数字滤波器的方法设计IIR DF的方法一般有三种，即：a.零、极点位置累试法根据系统函数在单位圆内的极点处出现峰值，在零点处出现谷值的特点来设置零、极点以达到性能要 求，这种方法只适用于简单滤波器的设计。b.利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器由于模拟滤波器综合理论已发展的相当成熟；数字滤波器在很多情况下能兼容模拟滤波器；更由于数 字滤波器性能指标是相应模拟滤波器性能指标的周期延拓，所以完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计 方法来设计数字滤波器。c.最优化设计法最优化设计法又称为计算机辅助设计法，因为这种方法一般分两步来进行：第一步要选择一种最优准则；第二步
9、求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数ak、br ,这一步需要进行大量迭代运算，故要靠计 算机来完成。在以上几种方法中，本章主要讨论第二种方法。但随着计算机的普及，最优化设计方法也日益发展。(3)利用模拟滤波器的设计理论来设计数字滤波器这种方法的设计过程是：首先根据所给的滤波器性能指标设计出相应的模拟滤波器的转移函数Ha(s),然后“设法”将它转换到数字域中以形成数字滤波器的转移函数H (z)。由此过程可知：a.这种方法的设计原型是模拟滤波器，而原型中的原型又是模拟低通滤波器。b.要想利用模拟低通滤波器作设计原型，根据滤波器设计的一般步骤可知，在进入低通原型的设计指标将有一次Q之间的变换，而走出
10、模拟低通原型的设计结果H LP (s)将有另一次sz之间的变换。c. “设法”将转移函数 Ha(s)从S平面变换到Z平面有许多方法，但工程上常用“脉冲响应不变法”和“双线性变换法”。d.在以上变换中，一般要求所得到的数字滤波器频率响应能保留原模拟滤波器频率响应的主要特性， 为此，对变换关系提出如下要求：其一：使S平面的虚轴jC转换到Z平面的单位圆上，即频响“不变” 。其二：使S平面的左半平面转换到 Z平面的单位圆内，即因果稳定性“不变” 。2.模拟滤波器设计2.1 模拟滤波器的技术指标要求(1)由于高通、带通和带阻滤波器的传输函数都能经过频率变换由低通滤波器传输函数求得，故把低 通滤波器称为原
11、型低通滤波器。不论设计何种滤波器，都是先把该种滤波器的技术要求转变为相应的低通滤波器的技术要求， 然后设计低通滤波器的传输函数Ha(s),然后再经过频率变换将Ha(s)变换为所求的滤波器的传输函数。因此我们先研究低通滤波器的设计方法。(2)低通滤波器的技术要求为通带截止频率 p (rad / s)通带最大衰减：p(dB)阻带截止频率，1s (rad / s)阻带最小衰减：s(dB)上述四个量的含义可以用建a样板图来表示。F(dB)Os .% Q(rad/ s)0QpQs以上技术要求中的a定义为2X(jC)Y(jQ)= 10lg2|Ha(jC)(dB)由上式可知，a和Ha(jQ)成反比，故称a为
12、衰减值。该值本质上仍是幅频特性。2.2 对给定技术条件的逼近方法在给定要求的技术条件之后，要找出一个Ha(jG)或Ha(s)使之近似地符合给定的技术指标。但1、人 一一,-，一一，-， (G) =10lg这个表布式不容易直接用多项式或有理式来逼近，所以需要找一个能够用多项式Ha(j19或有理式逼近的函数，此函数称为特征函数，以 K(jC)表示，它定义为X(jC)Y(jG)2= 1+|K(jC)结合u(G)的定义式，可以得到2Ha(W)1- 21 十 K(jC)a(C) =10lg12 =10lg1+|K(j)2Hag)，.一、2，*2，、一，,，K(jC)|等于一个以 夏2为自变量的多项式或有
13、理式。例如K(jC)|2 =ao(Q2)N +ai(Q2)N- 十十 aN(。2)十 aN式中，, a1, , , aN，aN都是常数再例如- 2221K(jC)| =名 cos ncos Q式中，/为一待定常数，n为正整数当然，|K(jC)/还有其他的形式。一些学者已经作了很多研究工作，我们只讨论以上两种形式，分别称为巴特沃思逼近和切比雪夫逼近。以上这些逼近方法只考虑了幅度特性的逼近而没有考虑相位特性的逼近。如对相位有较高要求，则需 要在上述滤波器之后再加全通滤波器来校正其相位。由于各滤波器所需要的频率范围很不相同，为了使设计简化，常将所用的频率归一化。即设定某一频率为参考频率，并令参考频率
14、的归一化值为1,将其他频率与这个频率的比值作为其他频率的归一化值。归一化后，滤波器的计算方法不会因频率的绝对值高低而异。并可由统一的图表或曲线，再转换为真实频 率对应的传输函数。2.3由幅度平方函数确定传输函数22在讨论具体的逼近函数之前，还需要进行一项工作，即如何由给定的|K(jC)| (或|Ha(jC) ,称为幅度平方函数)求出 Ha (jC)或Ha (s)。因为2|Ha(jO| =Ha(jC)Ha(jO由于滤波器冲激响应 ha(t)是实函数，因而 Ha(jC)具有共轲对称性Ha(D =Ha(-)所以Ha(jO)|2 =Ha(jO)Ha(-jO) = Ha(s)Ha(-S)|sQ现在的问题
15、是要由已知的|Ha(jG);求得Ha(s)。下面作一般性讨论：(1)由P.139图5-5可知：Ha(s) Ha(s)的零、极点分布成象限对称，特别地，Ha(s) Ha (-s)在虚轴上的极点或零点一定是二阶的，但对于稳定系统，Ha(s) Ha(-s)在虚轴上没有极点。(2)任何实际可实现的滤波器都是稳定的，而稳定系统的传输函数 H a(s)的极点一定落在 S平面的左半平面，所以左半平面的极点一定属于Ha(s),而右半平面的极点必属于Ha(-s)。(3)零点的分布无此限制，它只和滤波器的相位特征有关。如要求最小相位延时特性，则Ha(s)应取左半平面零点。如无特殊要求，则可将对称零点的任一半(应为共轲
