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1、 证明不等式恒成立的几种方法中心摘要近几年在数学高考试题中经常遇到不等式恒成立问题。在05年高考辽宁、湖北及天津等省均出现此类题型。本文根据高考题及高考模拟题总结了四种常见的解决不等式恒成立问题的方法。法一：转换主元法。适用于一次型函数。法二：化归二次函数法。适用于二次型函数。法三：分离参数法。适用于一般初等函数。法四：数型结合法。中文关键词“不等式”, “恒成立”在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法。1 转换主元法
2、确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。 例1：若不等式 2x1m(x2-1)对满足2m2的所有m都成立，求x的取值范围。 解：原不等式化为 (x21)m(2x1)0 记f(m)= (x21)m(2x1) (2m2) 根据题意有： 即：解之：得x的取值范围为2 化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。例2：在R上定义运算：xy(1y) 若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，则 ( )(A)1a1 (B)0a2 (C) (D) 解：由题意可知 (x-a)1-(x+a) 0对xR恒成立记f(x)=x2-x-a2+a+1
3、则应满足(-1)2-4(-a2+a+1)0化简得 4a2-4a-30对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解：设f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。(1)当m0时，f(x)在0,1上是增函数，因此f(0)是最小值，解 得 m1时，f(x)在0,1 上是减函数，因此f(1)是最小值解 得 m1综合(1)(2)(3) 得 注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。3 分离参数法在题目中分离出参数，化成af(x) （afmax(x) （aan-1恒成立，求
4、a0的取值范围。解：依题意：3n+(-1)n-12n+(-1)n2na03n-1+(-1)n-22n-1+(-1)n-12n-1a0化简，得 (-1)n32n-1a0-3n-1+(-1)n2n-1 (1)当n=2k-1 kN*时 a0()n-1+ 设g1(n)= ()n-1+ g1(n)在nN* 时且n=2k-1,kN*时是增函数 g1(n)的最小值为g1(1) a0-()n-1+ 设g2(n)=- ()n-1+ g2(n)在nN*且n=2k,kN*时是减函数 g2(n)的最大值为g2(2)0 a00综上可知0a00。设x0(0, )，y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切
5、线方程并设函数g(x)=kx+m（）用x0，f(x0)，(x0)表示m；（）证明：当x(0, )时，g(x)f(x)（）若关于x的不等式x2+1ax+b在0, ）上恒成立，其中a、b为实数。求b的取值范围及a与b所满足的关系。 本题（）应用了此方法。（）解：0b1，a0是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。 x2+1ax+b 即x2-ax+(1-b)0对任意x0, )成立的充要条件是a令(x)=ax+b-，于是ax+b对任意x0, )成立的充要条件是(x)0由(x)=a-=0得x= 当0x时，(x) 时，(x) 0,所以，当x时，(x)取最小值。因此，(x)0成立的充要条件是()0。即
6、a 综上，不等式x2+1ax+b对任意x0, 成立的充要条件是 a显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式有解。解不等式得 因此，式即为b的取值范围，式即为实数a与b所满足的关系。4.数型结合法例7：如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是解析：画出y1=,y2=kx的图像，由图可看出 0k1K=1例8：已知a0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax恒成立，则a的取值范围解析：不等式x2-ax x2-画出y1= ax,y2= x2-的图像。由图可看出 a1或1a21在解综合性较强的恒成立问题时，有时一题多法。所以以题为本，关键抓住恒成立的实质，具体问题具体分析，不拘泥于一种方法。参考文献12005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 22005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 32003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）42005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）共6页第5页
