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1、x高考数学（北师大版理）一轮复习课时规范训练 空间向量及其运算【A级】 基础训练 11(若向量a,(1，2)，b,(,2,1,1)，a，b夹角的余弦值为，则等于( ) 6A(1 B(,1 C(?1 D(2 a?b1解析:cosa，b,， 2|a|b|6，5?6解得,1. 答案:A 2(设点C(2a，1， a，1,2)在点P(2,0,0)、A(1，,3,2)、B(8，,1,4)确定的平面上，则a等于( ) A(16 B(4 C(2 D(8 ? (,1，,3,2)，PB,(6，,1,4)( 解析:PA,?根据共面向量定理，设PC,xPA，yPB(x、y?R)， 则(2a,1，a，1,2),x(,1
2、，,3,2)，y(6，,1,4) ,(,x，6y，,3x,y,2x，4y)， 2a,1,x，6y，,a，1,3x,y，? , ,2,2x，4y，,解得x,7，y,4，a,16. 答案:A ?3(x?济宁模拟)在空间四边形ABCD中，AB?CD，AC?DB，AD?BC,( ) A(,1 B(0 C(1 D(不确定 解析:法一:如图，在空间四边形ABCD中，连接对角线AC，BD，得三棱锥A,BCD，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体，?正四面体的对棱互相垂直， ?AB?CD,0，AC?DB,0， ?AD?BC,0. ?AB?CD，AC?DB，AD?BC,0. ?法二:在法一的图中，选取不共面的向量
3、AB，AC，AD为基底， ?则原式,AB?(AD,AC)，AC?(AB,AD)，AD?(AC,AB) ?,AB?AD,AB?AC，AC?AB,AC?AD，AD?AC,AD?AB,0. 答案:B 4(x?黄州模拟)已知空间向量a，b满足|a|,|b|,|a,b|,2，则|3a,2b|,_. 解析:?|a|,|b|,|a,b|,2， 22?a,2a?b，b,4即4,2a?b，4,4. 解得a?b,2， 222?|3a,2b|,9a,xa?b，4b ,36,x?2，16,28， ?|3a,2b|,27. 答案:27 ?5(平行六面体ABCD,ABCD中，AC,xAB，2yBC，3zCC，则x，y，z
4、等于_( 111111?解析:?AC,AB，BC，CC，又AB，BC，CC不共面， 11111?x,1,2y,1,3z,1.?x,1，y,，z,. 23117?x，y，z,1，,. 2367 答案:6,316(如图，BC,4，原点O是BC的中点，点A，点D在平面,，0,22yOz上，且?BDC,90?，?DCB,30?，则AD的长度为_( 解析:由于点D在平面yOz上，所以点D的横坐标为0，又BC,4，原点O是BC的中点，?BDC,90?，?DCB,30?.?点D的竖坐标z,4?sin 30?sin 60?,3， 纵坐标y,(2,4?sin 30?cos 60?),1. ?D(0，,1，3)(
5、 1,3222,?|AD|,，1，,0,3,6. ,0,2,2答案:6 7(x?宜昌模拟)如图ABCD,ABCD是正方体，M、N分别是线段AD和BD的中点( 11111(1)证明:直线MN?平面BCD; 11(2)设正方体ABCD,ABCD棱长为a，若以D为坐标原点，分别以DA，DC，1111DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B、M11两点的坐标，并求线段BM的长( 1解:(1)证明:连接CD、AC，则N是AC的中点， 1在?ACD中，又M是AD的中点，?MN?CD. 111又MN?平面BCD，CD 平面BCD， 11111?MN?平面BCD. 11aa,(2)由条件
6、知B(a，a，a)，M，0， 1,22,aa6222,，,a?|BM|,a,0,，a,a. 1,2,2,216即线段BM的长为a. 12【B级】 能力提升 ?1(已知正方体ABCD,ABCD中，点E为上底面AC的中心，若AE,AA，xAB，yAD，则x，1111111y的值分别为( ) 1A(x,1，y,1 B(x,1，y, 2111(x,，y, D(x,，y,1 C22211?解析:如图，AE,AA，AE,AA，AC,AA，(AB，AD)( 11111122答案:C 2(?ABC的顶点分别为A (1，,1,2)，B(5，,6,2)，C(1,3，,1)，则AC边上的高BD等于( ) A(5 B
7、.41 C(4 D(25 ?解析:设AD,AC，D(x，y，z)，则(x,1，y，1，z,2) ,(0,4，,3)，?x,1，y,4,1，z,2,3. ?BD,(,4,4，5，,3)，?4(4，5),3(,3),0， 4912?,?,，?BD,4， 5,55,912?222,?|BD|,4,，,5. ,5,5答案:A 1?3(正方体ABCD,ABCD的棱长为1，点M在AC上且AM,MC，N为BB的中点，则|MN|为11111112( ) 216A. B. 661515C. D. 63?解析:如图，设AB,a，AD,b，AA,c， 1则a?b,b?c,c?a,0. 11211?由条件知MN,MA
8、，AB，BN,(a，b，c)，a，c,a,b，c 3233641121?2222?MN,a，b，c, 99363621?|MN|,. 6答案:A ?4(已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA?,2xBO，3yCO，4zDO，则2x，3y，4z,_. ，B，C，D四点共面， 解析:?A?OA,mOB，nOC，pOD，且m，n，p,1. ?由条件知OA,2xOB,3yOC,4zOD， ?(,2x)，(,3y)，(,4z),1. ?2x，3y，4z,1. 答案:,1 5(空间四边形OABC中，OA,8，AB,6，AC,4，BC,5，?OAC,3,45?，?O
9、AB,60?，则OA与BC所成角的余弦值等于_( ?解析:由题意知AO?BC,AO?(AC,AB),AO?AC,AO?AB ,8?4?cos 45?,8?6?cos 60?,162,24. ?AO?BC162,24?cosAO，BC, ?8?5|AO|BC|22,3,. 53,22?OA与BC所成角的余弦值为. 53,22答案: 56(创新题)如图，直三棱柱ABC,ABC，底面?ABC中，CA,CB,1，?BCA,90?，棱111AA,2，M、N分别是AB，AA的中点( 1111?(1)求BN的模; ?(2)求cosBA，CB的值; 11(3)求证:AB?CM. 11解:如图，建立空间直角坐标
10、系Oxyz， (1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)， ?222?|BN|,1,0,，,0,1,，,1,0,3. (2)依题意得A(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B(0,1,2)， 11?(1，,1,2)，CB,(0,1,2)， BA?CB,3， ?BA,1111?|BA|,6，|CB|,5， 11?cosBA，CB 11?BA?CB111,30. ?10|BA|CB|1111,(3)证明:依题意，得C(0,0,2)、M，2， 1,22,?AB,(,1,1，,2)， 111?,CM,，0. 1,22,11?AB?CM,，0,0， 1122?AB?CM.?AB?CM
11、. 1111【A级】 基础训练 1(已知直线l的方向向量是a,(2,4，x)，直线l的方向向量是b,(2，y,2)，若|a|,6，12且a?b,0，则x，y的值是( ) A(,3或1 B(3或,1 C(,3 D(1 222,2解析:由题意知|a|，4，x,6，得x,?4. 由a?b,4，4y，2x,0得x,2y,2，当x,4时，y,3，?x，y,1;当x,4时，y,1，?x，y,3，综上x，y,3或1. 答案:A 2(x?高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABCD,ABCD中，AB,2，CC,22，E为CC的中111111点，则直线AC与平面BED的距离为( ) 1A(2 B.3 C.2 D(1 解
12、析:连接AC交BD于O，连结OE，由题意得AC?OE，?AC?平面BED，直线AC到平面111BED的距离等于点A到平面BED的距离，也等于点C到平面BED的距离，作CH?OE于H，1则CH,OE,1为所求，故选D. 2答案:D 3(如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC,BC,2，?ACB,90?，F、G分别是线段AE、BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为( ) 33A. B(, 6633C. D(, 33解析:如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC,BC,2，?ACB,90?，F、G分别是线段AE、BC的中点( 以C为原来建
13、立空间直角坐标系Cxyz， A(0,2,0)，B(2,0,0)，D (0,0,2)，G(1,0,0)，F(0,2,1)， ?AD,(0，,2,2)，GF,(,1,2,1)， ?|AD|,22，|GF|,6，AD?GF,2， ?AD?GF3?cosAD，GF,. ?6|AD|GF|3?直线AD与GF所成角的余弦值为. 6答案:A 4(长方体ABCD,ABCD中，AB,AA,2，AD,1，E为CC的中点，则异面直线BC与AE1111111所成角的余弦值为_(解析:建立坐标系如图，则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)， ?C(0,2,2)，BC,(,1,0,2)，AE,(,1,2
14、,1)， 11?AEBC1?cosBC，AE, 1?|BC|AE|130,. 1030答案: 101955,5. 若A0，2，B1，,1，C,2，1，是平面内的三点，设平面的法向,8,8,8,量n,(x，y，z)，则x?y?z,_. 77?,解析:AB,1，,3，,，AC,2，,1，,， ,4,4,72?n?AB,x,3y,z,0x,y，,43由得 ,74? n?AC,2x,y,z,0z,y.,4324,所以x?y?z,y?y?,y,2?3?(,4)( 3,3,答案:2?3?(,4) 6(x?高考x卷)如图，在正方体ABCD,ABCD中，M、N分别是棱CD、CC的中点，则异11111面直线AM与DN所成的角的大小是_( 1解析:连结DM，则DM为AM在平面DCCD上的射影，在正方形DCCD中，?M、N分别是1111111CD、CC的中点，?DM?DN，由三垂线定理得AM?DN.即异面直线AM与DN所成的角为111190?. 答案:90? 7(x?高考x卷)如图，在直三棱柱ABC,ABC中，AB?AC，AB,AC,2，AA,4，点D是
