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2013年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷1. (15分) 设是一个素数, 多项式. 证明: 在有理数域上不可约.2. (10分) 计算阶行列式.3. (10分) 设向量组, , , 线性无关, 向量可用它们线性表示, 向量不能用它们线性表示. 证明向量组, , , , 线性无关.4. (15分) 已知矩阵, ,且矩阵满足, 其中是单位阵, 求.5. (15分) 取何值时, 线性方程组有唯一解、无解、无穷多解? 在有无穷多解时, 求其通解(用向量形式表示).6. (15分) 设二次型, 利用正交变换将二次型化为标准形, 并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.7. (20分) 已知维线性空间的一组基, , , 设, , .(1) 求由基, , 到基, , 的过渡矩阵; (2) 求向量在基, , 下的坐标.8. (20分) 设维欧氏空间中元素在的标准正交基, , 下的坐标为.定义的变换如下: 对于任意, ,其中表示与的内积.(1) 证明是线性变换; (2) 求的一组标准正交基, , , 使在该基下的矩阵为对角矩阵.9. (15分) 设矩阵.试求的Jordan标准形.10. (15分) 设是数域上的维线性空间, 是的线性变换, （对任意），（是的恒等变换）, 而且. 求证:(1) 和都是的特征值;(2) .
