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1、第7讲解三角形应用举例最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.知 识 梳 理1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为(如图2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)东北方向就是北偏东45的方向.()(2)从A处望B处的仰角为，从B处望A处
2、的俯角为，则，的关系为180.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()解析(2).(3)俯角是视线与水平线所构成的角.答案(1)(2)(3)(4)2.若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A.北偏东15 B.北偏西15C.北偏东10 D.北偏西10解析如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.答案B3.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到
3、山顶的俯角为30，经过1 min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：1.732)()A.11.4 km B.6.6 kmC.6.5 km D.5.6 km解析AB1 000(km)，BCsin 30(km).航线离山顶hsin 75sin(4530)11.4(km).山高为1811.46.6(km).答案B4.(必修5P11例1改编)如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，BAC，ACB，则A，B两点间的距离为()A. B.C. D.解析在ABC中，ABC()，ACm，由正弦定
4、理，得，所以AB.答案C5.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是_n mile.解析设两船之间的距离为d，则d250230225030cos 1204 900，d70，即两船相距70 n mile.答案706.(2017湖州调研)一缉私艇发现在北偏东45方向，距离12 n mile的海上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿南偏东75方向逃窜，若缉私艇的速度为14 n mile/h，缉私艇沿北偏东45的方向追去，若要在最短的时间内追上走私船，则追上所需的时间为_
5、h，角的正弦值为_.解析如图所示，A，C分别表示缉私艇、走私船的位置，设经x小时后在B处追上走私船.则AB14x，BC10x，ACB120，在ABC中，由余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AB28，sin ，即所需时间为2小时，sin .答案2考点一测量高度问题【例1】 (2015湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解析在ABC中，AB600，BAC30，ACB753045，由正弦定理得，即，所以
6、BC300(m).在RtBCD中，CBD30，CDBCtanCBD300tan 30100(m).答案100规律方法(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.【训练1】 (2017郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.解由已
7、知得，BCA90，ABC90，BAC，CAD.在ABC中，由正弦定理得，即，AC.在RtACD中，CDACsinCADACsin .故山高CD为.考点二测量距离问题【例2】 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B两点间的距离.解ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC(km).在BCD中，D
8、BC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30(km).在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB(km).A，B两点间的距离为 km.规律方法(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【训练2】 如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60
9、，试计算AB的长.解在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB2400260022400600cos 60280 000，AB200(m)，即A，B两点间的距离为200 m.考点三测量角度问题【例3】 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的_方向.解析由已知ACB180406080，又ACBC，AABC50，605010，灯塔A处于灯塔B的北偏西10.答案北偏西10规律方法解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据
10、题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的结合使用.【训练3】 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A.30 B.45C.60 D.75解析依题意可得AD20m，AC30m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.答案B思想方法1.利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义.2.在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件.易错防范1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误. - 1 -
