新教材适用·高中选修数学
章末复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．关于切线的注意点
在确定曲线在某点处切线的方程时，一定要首先确定此点是否为切点，若此点是切点，则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值，若此点不是切点，则需应先设切点，再求斜率，写出直线的方程．
2．求函数单调区间的两个关注点
单调区间的求解过程中，应关注两点：(1)不要忽略y＝f(x)的定义域；(2)增(减)区间有多个时，用“，”或者用“和”连接，切不可用“∪”连接．
3．函数单调性与导数的关系的注意点
若函数f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明．f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系：f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件．
4．可导函数的极值与导数的关系的注意点
x0为极值点能推出f′(x0)＝0，但反之不一定．f′(x0)＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．x0是极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0点两侧导数异号．
5．函数的最值与极值的注意点
(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的．函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．
(2)在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较，不可直接用极大(小)值替代最大(小)值．
专题1 导数的运算与导数的几何意义
在导数的运算中，要熟练掌握基本导数公式和运算法则．由于函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．
[例1] (1)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
(2)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________．
解析：(1)由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，
可得－5＝4a＋.①
y′＝2ax－，则曲线在点P处的切线斜率为4a－，由题意可知4a－＝－.②
由①②解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.
(2)设P(x0，y0)．因为y＝xln x，所以y′＝ln x＋x·＝1＋ln x．所以1＋ln x0＝2，解得x0＝e，所以y0＝eln e＝e.所以点P的坐标是(e，e)．
答案：(1)－3 (2)(e，e)
归纳升华
1．函数y＝f(x)在点x0处的导数为f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．
2．求曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))的切线方程：设切点Q(x1，f(x1))，则切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，把点P的坐标代入切线方程解得x1，再回代到切线方程中．
[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
解：(1)点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，所以直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又因为直线l过点(0，0)，
所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得x＝－8，
所以x0＝－2，
所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13，
所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
专题2 利用导数研究函数的性质
把导数作为数学工具，求解单调区间，研究函数的极大(小)值，以及求在闭区间[a，b]的最大(小)值是本章的重点．
利用导数求函数的单调性是基础，求极值是关键，学习时一定要熟练它们的求解方法．
[例2] 已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．
(1)确定a的值；
(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x.
因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝3a·＋2×＝－＝0，
解得a＝.经检验满足题意．
(2)由(1)知g(x)＝ex，定义域为R，
所以g′(x)＝ex＋ex＝ex＝x(x＋1)(x＋4)ex.
令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.
当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；
当－4
0，故g(x)为增函数；
当－10时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．
综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，
在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．
归纳升华
1．利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求f′(x)．
(3)解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0.
(4)不等式的解集与定义域取交集．
(5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间．
2．关于函数的极值、最值与导数的关注点：
(1)已知极值点求参数的值后，要回代验证参数值是否满足极值的定义．
(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负．
(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．
[变式训练] 已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在x＝1处有极小值－1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在闭区间[－2，2]上的最大值和最小值．
解：(1)f′(x)＝3x2－6ax＋2b，因为f(x)在点x＝1处有极小值－1，所以
即解得
所以 f(x)＝x3－x2－x，f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＞0，得x＞1或x＜－；
令f′(x)＜0，得－＜x＜1.
所以 函数f(x)的单调递增区间是和(1，
＋∞)，单调递减区间是.
(2)由(1)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x
－2
－
1
(1，2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－10
↗
↘
－1
↗
2
由表中数据知，函数f(x)在x＝2处取得最大值2，在x＝－2处取得最小值－10，
所以 函数f(x)在闭区间[－2，2]上的最大值为2，最小值为－10.
专题3 利用导数求参数的取值范围
导数中的参数问题实质上是利用导数求解切线问题、单调性问题、极值问题的逆向思维型问题，此类问题主要是利用导数的几何意义及导数与函数的单调性、极值的关系，并结合函数与方程思想、分类讨论思想等来解答的．
[例3] 已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a的取值范围．
解：由已知得a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．
设g(x)＝，则g′(x)＝－.
因为x＞1，所以g′(x)＜0.
所以g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，
所以g(x)＜g(1)，即g(x)＜1在区间(1，＋∞)内恒成立．故a≥1.
归纳升华
已知函数的单调性求参数的取值范围可转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立，用分离参数求最值或函数性质求解，注意验证使f′(x)＝0的参数是否符合题意．
[变式训练] 设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a＞0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
注：e为自然对数的底数．
解：(1)因为f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x＞0，
所以f′(x)＝－2x＋a＝－.
由于a＞0，所以f(x)的递增区间为(0，a)，
递减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.
由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要
解得a＝e.
专题4 分类讨论思想
分类讨论思想是一种重要的数学思想，运用分类讨论思想，必须理解为什么分类、如何分类以及最后如何整合，只有分类标准明确，分类才能不重不漏．
本章中求单调区间、求参数的取值范围、求极值和最值以及恒成立问题，常常用到分类讨论思想．
[例4] 已知函数f(x)＝－1.
(1)试判断函数f(x)的单调性；
(2)设m>0，求f(x)在[m，2m]上的最大值．
解：(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)．
由已知f′(x)＝，
令f′(x)＝0得，1－ln x＝0，所以x＝e.
因为当00，
当x>e时，f′(x)＝<0，
所以函数f(x)在(0，e]上单调递增，在[e，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知函数f(x)在(0，e]上单调递增，在[e，＋∞)上单调递减，
故①当0<2m≤e即0
展开阅读全文
温馨提示：
金锄头文库所有资源均是用户自行上传分享，仅供网友学习交流，未经上传用户书面授权，请勿作他用。
相关搜索