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1、第九讲行列式单元测试题点评一、填空题（每小题2分，满分20分）1 .全体 3阶排列一共有 6个，它们是123,132,213,231,312,321;2. 奇排列经过奇数次对换变为偶 排列，奇排列经过偶数次对换变为 奇排列;3. 行列式D和它的转置行列式D有关系式D D ；4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号；5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这个行列式等于零：6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边；7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行 （列） 的对应元素上，行列式 的值不变：8. 行列式的某一行（列
2、）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于 零:a11a12La1 n0a22La2nai1a22 K ann ；9.MMMM00Lann二、判断题(每小题3分，满分24分)1.若(口2in)k,则心花in)k 1(V)a11a12a1n2.设Da21a22a2n，则d的-般项 3iljlai2j2ai j的符号an1an2ann是(1)(j1j2jn)(X)210.当 k=7142时，k2k3.若n(n2)阶行列式D=0,则D有两行(列)元素相同.(为4 .若n阶行列式D恰有n个元素非0，则Dm 0.( 为5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆
3、法则求解。6.若行列式D的相同元素多于n2 n个，贝U D=0.( 为aiiai27.a32a13a23a33a12a22a23a11a21a31ai3a23a338.n阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘 积项带负号。(X)三、单项选择题(每小题 4分，满分20分)1.位于n级排列i2L ik i1 ik i L in中的数1与其余数形成的反 序个数为(A)(A) k-1 (B) n-k-1(C)C：(D) C： k2. 设 iii2 L in 是奇排列，则 inin 1L i2i1 是（C）（A）奇排列；（B）偶排列；（C）奇偶性不能仅由n的奇偶性确定的排列；（D）奇偶性仅
4、由n的奇偶性确定的排列。3. 个不等于0的n阶行列式中非零元素个数至少为（D）;(A)n(n 1)(B)n2(C)(n 1)2(D)n4.以下数集作成数环的是(C )(1) S=b5 b Z ；(2)S=a0a Q(3) S= a bx/3a,b Z ；(4) S= ab/3i a,b(A) (1)、(3)(B) (2)、(4)(C) (3)、(4)(D) (1)、(4)a 00e0 b f05.行列式0 g c0中兀素f的代数余子式是（C)h 00dd edea ea e(A)(B)(C) g(D)g fgfh dh d四、计算下列各题（每小题 5分，满分20分）1.计算（2k）1（2k-1
5、）2L （k+1）k ）；解(2k )1 (2k1 )2 L(k1) k(12 Lk )(12L(k1)k ( k1)k (k1)k 22235212.设D11130153,求 A11A12A13a14的 值.2413111111051313亦2345223242523.计算行列式D=小3,3-3234524344454C56626364的值。(3 2)(4 2)(5(5 4)(62(64(63(5 3)(62)(45)5=288153)亦111112345623456223242526222324252622333435363233343536324344454642434445464112
6、1解D n02MM001201(n1)n002MM001)n(3Ln1n将第 2 至n列 都加0L00到第一列2L00MMM0Ln11n3Ln1n0L002L00MMM0L1n(nin(1)(n1)!123Ln 1n110L004.计算行列式 Dn022L00的值。MMMMM000Ln 11 n五、证明下列各题（满分 16分）1.设Fi,F2均为数域，证明FiI F2也是数域。（5 分）证明因为0,1Fl,F20,1FiF：2,a,bF1F2a,bF1,a, bF2aa b,ab,(b:b0)F1,aai b,ab, (bb0)F2ab, ab, a(b b0)F1F2F1 F2是数域。ayb
7、x c已知a,b,c均不为0,证明cxaz b有唯-解。bzcy a2.(5 分)证明因为方程组的系数行列式ba0Dc0a2abc O（Qa,b,c均不为0）0cb所以有克莱姆法则知，方程组有唯一解。0abc0. (6 分)a0cb3.设a,b,c是一个三角形的三边，证明bc0a证明-ac-bb-c-ac-bb-c(a+b+c)c-a-ba-c(a+b+c)c-ca-bb-aa-b-cba-c-b0 a b c a 0 c b b c 0 a c b a 0000a+c-ba+b-c01abc10 0 0(a+b+c)10cb(a+b+c)1a c b b c1c0a1c ab a c1ba0
8、1b a a bc-111=(a+b+c)(a-(b+c)c-ca-bba-c-b-1(a+b+c)(a-(b+c) cb(a+b+c)(a-(b+c)(a+b-c)(a+c-b)0（因为a,b,c是三角形的三边）本讲作业:（一）解答下列各题123Ln1x 13LnD12x 1Ln1.计算行列式MMMOM123Lx 1解 当x 1时，Dn 0,所以(x 1)|Dn同理(x 2),L , x (n 1)均为Dn的因式。又x i与x j(i j)各不相 同，所以(x-1) (x 2)L x (n 1)| Dn但Dn的展开式中最高次项xn 1的系数为1,所以Dn = ( x-1)(x 2)Lx(n1
9、)2.计算n阶行列式解由于按第一列展开有Dn5Dn1 6Dn 2,作特征方程x 2 5x 6 0,解此方程得二根2,3，令Dn A2n 1 B3n1,令n 1,2可得A B 52A 3B 19解得 A 4,B9 Dn 3n 1-2n 1a。a2 Lan 1an 1a03.证明Da 2a 15八f 2f 1M Ma1a2a3Ln 1其中 f (x)aixi,cos2an 2an 3f(1)f( )L f( n1),Ma。.2i sin证明作矩阵乘积a。qa?Lan 1an 1a0 a1Lan 2an 2an 1a0Lan 3MM M LMaia2a3La。f(1)f()f( 2)f(1)f()2
10、f( 2)f(1)2f()4f( 2)MMMf(1)n1f()2( n1f( 2)1 11L112Ln 11 24L2(n 1)M MMLM1 n12(n 1)L(n 1)(n 1)两边取行列式即得所征。111L112Ln 1124L2(n 1)MMMLM1n 12( n 1)L(n 1)(n 1)Lf( n1)Ln 1 f ( n 1)L2( n 1) f ( n1)LML(n1)(n 1) f (n1)f(1)f()Of(n1)说明：此行列式称为循环行列式，以后见到以下类型的行列式计算，可直接利用这一结果122 n2232 L1222 L例如计算行列式D=(n 1)22 n12LMMML223
