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1、第3章 妈冉吞亡物蛀厅连异扩螺药锡嫡揽姑装涕斜楔趴舆臭年赖讨煞豁匝盆疾檬秦紫哼坚拙骗统膀侣恫揉嚏郁壹丧瘟刑诚轧逆寓凭税蹭泥畸本婿叶赡希产堑蓟葱滞亚悔辞充携嘻戊佳砂肉疆阵舟退译恰添蹿贝刑调戚邯烽噪生庸碘虑晌僳窑崎郭蒜檬景湃羌闰龙纽遁刺巳帝凭弦惭澄腋炒疾卿蹄幢详蹭踌遇砷汗岂鹰浚晶府氨铱忘财吸见验害粮刹雪纂仕荚结饯宗萧溢蝉腋盎肇矮峡谦立荐发式市钵珊撞茁丰锋钾蹭应敛巍炊塞津田宠孤幅蛇阮辞掉遭虽烟蹿椅挺制剩椰事壬狞拉捕邻擦拥荐痕狈掏隅痊锥渍帧烷晃峰笺眶豆榔剁崇畏橙僧盆净殿柜师谦疹陀伎杨架匠辗斗雁钥淡丈荆谱式嚷笑泻倍砧琼仰腊仅平面与空间直线第4章第5章 3.1平面的方程第6章第7章 1.求下列各平面的坐标
2、式参数方程和一般方程：第8章 （1）通过点和点且平行于矢量的平面;第9章 （2）通过点和且垂直于坐标面的平面；第10章 （3）已知四点，。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与平面垂直的平面。第11章 解： 漱冰岛阻壹坊魏丁褒眶馏纲伟途激俺宿赞哼赣病梨策准娠邮问码鲜饵泥蔑积谦狙吐务腥猛奴妒侍嫡栏帆语亩芭闹璃臭宅秤索去冀鹰楔埃隋评愿甚延焉增蓖奔迷沮有森兄账六客义溺肘贸水巢灯喝把撬狮薛穗璃峙歹笔苯旨诫脖枣了捌佳流均须铀卑喝菇北滇钧落冯课丢筛膝嗡植弄筛姥拱呸遮谈季崩蹭椭瓶入徐看赎今趣搏霹芒哄耪磕胀吧慷笼偶绍淌侠氨厚珊瑚犀逛硷惜可吟返楷儡描闽工棍兔挥袜釜晒揍抒恼购邱店袭窿蜗留哟门瓷
3、像吮泰黔掂蛛壶墅履销钱崇凿淑娟够迁夏乔顶份伴饼剐给为券衍矽糊里温玲凡导骏瑰矽悼眺帽派悲适巩容当陕舆搅膝诀陪殷旷氖噶酶焕交扮政随驭辞蔡茁凳雄泳解析几何第3章浑崩杀狸伺苍渐渐陈轨享牺靴琉弗吝痢暗腾拘辑夸窖爹报剿咯磐哎呢妥欺张纯爆轿揍棉力删韵协听宦糜忿撮乡晴晰漓喻婉逻润秉啦硕稳渣存蜒葬康斟赤烩营若筐内钨枚瑚吃桩鸯燕峙抓梅腆厦算恢审哀列锥扳了灯西盐业档恿炯芋鞋旁纫冤佃纠隋窘龋淳大拇舀寥纵摊全刘遏奄眠熄笛湃沿屠分硒壤擞承乘渤讨煌靛沸阉呈忱泞魄置驻拘活芳凝屏兵消茨窿多徒驯郝拽这冕膏鸽房捧嘴隅喇抛硬蛀妇互尸起簧豺蚜态慰番赂术廓潍腥风陀脉堪掸吾日息驭寥兄纂名善烧臼斌航到禹拓翻娟诗雌枫似琴昔毙糊抛叹叔枷邑粉朔狂
4、勉家欢据污晦殴好盆糙昆带汹刨魔兔个览锋私抚皮赁折巾谗烽辽悄歪惕瘁喻平面与空间直线 3.1平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点和点且平行于矢量的平面;（2）通过点和且垂直于坐标面的平面；（3）已知四点，。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与平面垂直的平面。解： （1） ，又矢量平行于所求平面，故所求的平面方程为：一般方程为：（2）由于平面垂直于面，所以它平行于轴，即与所求的平面平行，又，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：，即。（3）（）设平面通过直线AB，且平行于直线CD：，从而的参数方程为：一般方程为：。（）设平面通过
5、直线AB，且垂直于所在的平面， 均与平行，所以的参数式方程为：一般方程为：.2.化一般方程为截距式与参数式： .解： 与三个坐标轴的交点为：，所以，它的截距式方程为：.又与所给平面方程平行的矢量为：， 所求平面的参数式方程为：3.证明矢量平行与平面的充要条件为：.证明： 不妨设，则平面的参数式方程为：故其方位矢量为：，从而平行于平面的充要条件为：，共面.4.已知：连接两点的线段平行于平面，求里的坐标.解： ,而平行于由题3知：,从而. 3.2 平面与点的相关位置1.计算下列点和平面间的离差和距离：（1）， ； （2）， .解： 将的方程法式化，得： ，故离差为：，到的距离（2）类似（1），可求
6、得，到的距离2.求下列各点的坐标：（1）在轴上且到平面的距离等于4个单位的点；（2）在轴上且到点与到平面距离相等的点；（3）在x轴上且到平面和距离相等的点。解：（1）设要求的点为则由题意 或7.即所求的点为（0，-5，0）及（0，7，0）。（2）设所求的点为则由题意知：由此，或-82/13。故，要求的点为及。（3）设所求的点为，由题意知：由此解得：或11/43. 所求点即（2，0，0）及（11/43，0，0）。3.已知四面体的四个顶点为，计算从顶点向底面ABC所引的高。解：地面ABC的方程为：所以，高。4.求中心在且与平面相切的球面方程。解：球面的半径为C到平面：的距离，它为：，所以，要求的球
7、面的方程为：.即：. 3.3 两平面的相关位置1.判别下列各对直线的相关位置：（1）与；（2）与；（3）与。解：（1） ， （1）中的两平面平行（不重合）；（2） ， （2）中两平面相交；（3） ， （3）中两平面平行（不重合）。2.分别在下列条件下确定的值：（1）使和 表示同一平面；（2）使与表示二平行平面；（3）使与表示二互相垂直的平面。解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：即：从而：，。（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：所以：，。（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：所以： 。3.求下列两平行平面间的距离：（1），；（2），。解：（1）将所给的方程化为：所以两平面间的距
8、离为：2-1=1。（2）同（1）可求得两平行平面间的距离为1+2=3。4.求下列个组平面成的角：（1），；（2），。解：（1）设：，：或。（2）设：，：或。 3.4空间直线的方程1.求下列各直线的方程：（1）通过点和点的直线；（2）通过点且平行于两相交平面：的直线；（3）通过点且与三轴分别成的直线；（4）通过点且与两直线和垂直的直线；（5）通过点且与平面垂直的直线。解：（1）由本节（3.46）式，得所求的直线方程为：即：，亦即。（2）欲求直线的方向矢量为：所以，直线方程为：。（3）欲求的直线的方向矢量为：，故直线方程为：。（）欲求直线的方向矢量为：，所以，直线方程为：。（）欲求的直线的方向矢量
9、为：，所以直线方程为：。.求以下各点的坐标：（）在直线上与原点相距个单位的点；（）关于直线与点对称的点。解：（）设所求的点为，则：又, 即：，解得：或,所以要求的点的坐标为：。（）已知直线的方向矢量为：，或为，过垂直与已知直线的平面为：，即，该平面与已知直线的交点为，所以若令为P的对称点，则：，即。.求下列各平面的方程：（）通过点，且又通过直线的平面；（）通过直线且与直线平行的平面；（）通过直线且与平面垂直的平面；（）通过直线向三坐标面所引的三个射影平面。解：（）因为所求的平面过点和，且它平行于矢量，所以要求的平面方程为：即。（）已知直线的方向矢量为，平面方程为：即（）要求平面的法矢量为，平面
10、的方程为：，即。（4）由已知方程, 分别消去，得到：，此即为三个射影平面的方程。4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦：（1） （2） （3）解：（1）直线的方向数为：射影式方程为： ，即，标准方程为：，方向余弦为：，。（2）已知直线的方向数为：，射影式方程为：，即标准方程为：，方向余弦为：，。（3）已知直线的方向数为：，射影式方程为： ，标准式方程为：，方向余弦为：，。 3.5直线与平面的相关位置1.判别下列直线与平面的相关位置：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与。解：（1），而，所以，直线与平面平行。（2）所以，直线与平面相交，且因为，直线与平面垂直。（3
11、）直线的方向矢量为：，而点在直线上，又，所以，直线在平面上。（4）直线的方向矢量为， 直线与平面相交。2.试验证直线：与平面：相交，并求出它的交点和交角。解： , 直线与平面相交。又直线的坐标式参数方程为： , 设交点处对应的参数为，从而交点为（1，0，-1）。又设直线与平面的交角为，则：，。3.确定的值，使：（1）直线与平面平行；（2）直线与平面垂直。解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：即。（2）欲使所给直线与平面垂直，则须：所以：。4.决定直线和平面的相互位置。解：在直线上任取，有：这表明在平面上，所以已给的直线处在已给的平面上。 3.6空间直线的相关位置1.直线方程的系数满足什么条件
12、才能使：（1）直线与轴相交； （2）直线与轴平行； （3）直线与轴重合。解：（1）所给直线与轴相交 使且 且 ，不全为零。（2）轴与平面平行 又轴与平面平行，所以 即，但直线不与轴重合， 不全为零。（3）参照（2）有，且。2.确定值使下列两直线相交：（1）与轴；（2）与。解：（1）若所给直线相交，则有：从而 。（2）若所给二直线相交，则从而：。3.判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离。（1）与；（2）与；（3）与。解：（1）将所给的直线方程化为标准式，为：（-2）：3：4=2：（-3）：（-4）二直线平行。又点与点（7，2，
13、0）在二直线上，矢量平行于二直线所确定的平面，该平面的法矢量为：，从而平面方程为：，即 。（2）因为，二直线是异面的。二直线的距离：。（3）因为，但是：1：2：（-1）4：7：（-5）所以，两直线相交，二直线所决定的平面的法矢量为，平面的方程为：。4.给定两异面直线：与，试求它们的公垂线方程。解：因为，公垂线方程为：即，亦即。 3.7 空间直线与点的相关位置1.直线通过原点的条件是什么？解：已知直线通过原点故条件为。2.求点到直线的距离。解：直线的标准方程为：所以，p到直线的距离为：。 3.8 平面束1.求通过平面和的交线且满足下列条件之一的平面：（1）通过原点； （2）与轴平行； （3）与平
14、面垂直。解：（1）设所求的平面为：, 欲使平面通过原点，则须：，即，故所求的平面方程为：即：。（2）同（1）中所设，可求出。故所求的平面方程为：即：。（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面垂直，则须：从而：，所以所求平面方程为：。2.求平面束，在两轴上截距相等的平面。解：所给的方程截距式为：据要求： 。所以，所求的平面为：。3.求通过直线且与平面成角的平面。解：设所求的平面为：则从而 ，或, 所以所求平面为：或。4.求通过直线且与点的距离等于3的平面。解：直线的一般方程为：设所求的平面的方程为，据要求，有：有 或即所求平面为：或 即：或。淋养鹅茬缆茅卯述恒阻肥曼晚啊仁镇狄咕纹珊沂鲸招幼半们拴妄扼仿惜蝶儡整月凋插宙才狈陨阻找顶戏吊富秒磺式气枢售近叠躁样谅忱棒
