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1、数列基础知识点考纲要求：1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题；3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。基础过关 数列的概念1数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集1，2，3，n的函数f(n)数列的一般形式为a1，a2，an，简记为an，其中an是数列an的第 项2数列的通项公式一个数列an的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式anf(n)
2、来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式3在数列an中，前n项和Sn与通项an的关系为： 4求数列的通项公式的其它方法 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.典型例题例1. 根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式 ，； 1，2，6，13，23，36，； 1，1，2，2，3，3，解： an(1)n
3、an（提示：a2a11，a3a24，a4a37，a5a410，anan113(n2)=3n5各式相加得 将1，1，2，2，3，3，变形为变式训练1.某数列an的前四项为0，0，则以下各式： an1(1)n an an 其中可作为an的通项公式的是（ ）ABCD解：D 例2. 已知数列an的前n项和Sn，求通项 Sn3n2 Snn23n1解 anSnSn1 (n2) a1S1 解得：an an变式训练2：已知数列an的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn1)n，(nN*)，则数列an的通项公式为 解：当n1时，a1S111；当n2时，anSnSn110n10n1910 n1故an例3. 根据下面数
4、列an的首项和递推关系，探求其通项公式 a11，an2an11 (n2) a11，an (n2) a11，an (n2)解： an2an11(an1)2(an11)(n2)，a112故：a112n，an2n1an（anan1）（an1an2）（a3a2）（a2a1）a13n13n23331(3)an变式训练3.已知数列an中，a11，an1(nN*)，求该数列的通项公式解：方法一：由an1得，是以为首项，为公差的等差数列1(n1),即an方法二：求出前5项，归纳猜想出an，然后用数学归纳证明例4. 已知函数2x2x，数列an满足2n，求数列an通项公式解：得变式训练4.知数列an的首项a15前
5、n项和为Sn且Sn12Snn5（nN*）(1) 证明数列an1是等比数列；(2) 令f (x)a1xa2x2anxn，求函数f (x)在点x1处导数f 1 (1)解：(1) 由已知Sn12Snn5， n2时，Sn2Sn1n4，两式相减，得：Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1从而an112(an1)当n1时，S22S115， a1a22a16,又a15， a211 2，即an1是以a116为首项，2为公比的等比数列.(2) 由(1)知an32n1 a1xa2x2anxn a12a2xnanxn1从而a12a2nan(321)2(3221)n(32n1)3(2222n2n)(12n)3
6、n2n1(22n)3(n1)2n16归纳小结1根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.2由Sn求an时，用公式anSnSn1要注意n2这个条件，a1应由a1S1来确定，最后看二者能否统一3由递推公式求通项公式的常见形式有：an1anf(n)，f(n)，an1panq，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）数列的概念与简单表示法三维目标知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。情感
7、态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点理解递推公式与通项公式的关系1、 通项公式法如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列 的通项公式为 ； 的通项公式为 ； 的通项公式为 ；2、 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的
8、项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势3、 递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型 模型一：自上而下： 第1层钢管数为4；即：141+3 第2层钢管数为5；即：252+3 第3层钢管数为6；即：363+3 第4层钢管数为7；即：474+3 第5层钢管数为8；即：585+3 第6层钢管数为9；即：696+3 第7层钢管数为10；即：7107+3若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且n7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一
9、层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即；依此类推：（2n7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。定义：递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆
10、函数的表示法：列表法，图象法，解析式法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，用 表示第 项，依次写出成为4、列表法简记为 范例讲解例3 设数列满足写出这个数列的前五项。解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：解：据题意可知：，补充例题例4已知， 写出前5项，并猜想 法一： ，观察可得 法二：由 即 补充练习1根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) 0, (2n1) (nN)；(2) 1, (nN)；(3) 3, 32 (nN). 解：(1) 0, 1, 4, 9, 16, (n1);(2) 1, , , ;(3) 31+2
11、, 71+2, 191+2, 551+2, 1631+2, 123;.课时小结本节课学习了以下内容：1递推公式及其用法；2通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系。等差数列的定义与性质定义：（为常数），等差中项：成等差数列前项和性质：是等差数列（1）若，则（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；（3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. (6)项
12、数为偶数的等差数列，有，.（7）项数为奇数的等差数列，有， ，.等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.等比中项：成等比数列，或.前项和：（要注意！）性质：是等比数列（1）若，则（2）仍为等比数列,公比为.注意：由求时应注意什么？时，；时，.求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列，求解 时， 时， 得：，练习数列满足，求注意到，代入得；又，是等比数列，时，（2）叠乘法 如：数列中，求解 ，又，.（3）等差型递推公式由，求，用迭加法时，两边相加得练习数列中，求答案 ：（4）等比型递推公式（为常数，）可转化为等比数列，设令，是首项为为公比的等比数列，（5）倒数法如：，求由已知得：，为等差数列，公差为，(附：公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：是公差为的等差数列，求解：由练习求和：（2）错位相减法若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比. 如： 时，时，（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与
