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1、 等比数列的前项和（第一课时）湖北省赤壁市蒲圻高中 张静教材：人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书A版 数学（必修5）教学目标知识与技能目标：理解并掌握等比数列的前n项和公式的推导过程，公式特点，在此基础上能初步应用公式解决与之相关问题过程与方法目标：通过在国际象棋棋盘的每个格子里放麦粒的故事，引出学习等比数列前n项和的问题，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质情感与态度目标：在解决实际问题的过程中，体会如何去分析问题、解决问题，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的综合能力；挖掘中外古代有关数列的历史故事中的文化内涵，指导学生收集历代数
2、学家研究数列问题并作出贡献的资料，体会数学的文化价值，培养学生的数学素养教学重点等比数列的前项和公式的推导及其简单应用从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”，一知识技能线：问题情境到公式推导到公式运用；二过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳到错位相减法等到转化、方程思想；三能力线：观察能力到数学思想解决问题能力到灵活运用能力及严谨态度.教学难点等比数列的前项和公式的推导从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提
3、高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，并且公式推导所用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以它既是重点又是难点.突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.教学方法利用计算机等多媒
4、体辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.教学过程一 创设情境、引入新课（给出投影图）传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者,发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的粮食来实现上述要求” .国王觉得这个要求并不高，就欣然同意了. 你认为国王有能力满足发明者的要求吗？设计意图：依托故事背景，以趣引思，承上启下，探讨求和方法.师：让我们一起来分析一下，由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的
5、2倍，那么各个格子里的麦粒数构成一个什么数列?生：等比数列，它的首项是1，公比是2.师：这个数列的各项是什么？生：1,，.师：总的麦粒数就等于这个等比数列的前64项和,它等于什么？生：.师：上式两边同乘以公比2，得到 将上面两式列在一起，进行比较 ,得 这个数很大，超过了1.84.估计千粒麦子的质量约是40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.设计意图：让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，培养学生的辩证思维能力.（给出投影）设等比数列，公比是它的前n项和是. （这一步在老师启发引导下学生完成）师: 请同学们类比上面具体的等比数列的求
6、和过程，推导一般的等比数列前n项和?（让学生思考几分种同时观察指导学生的思考过程）生：上式两边同乘以公比，即q然后用下式减去上式师：对于等号的右边做一个什么样的处理，更好观察出相同项相减得到差，生：等号右边部分向后面移动一位.师： q 由，得（）设计意图：领悟数学应用价值，从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高师：等号两边都除以 ，得到 = （板书），是吗？生：不对，如果q1，那么不能做除法，师：同学们说得很对，说明在做除法之前首先要考虑q1和q，（师生共同完成下面的过程）当q时， = 当q1时， 设计意图：通过学生个别学习，互相讨论，揭示知识的内在联系. 通过生生、师生间
7、的探讨、合作，培养学生的洞察力增强学生思维的严谨性.通过实物展示学生解决问题的方法，破除思维定势.二 等比数列前n项和公式（给出投影）等比数列前n项和公式表示如下：说明：（1）上面求等比数列前n项和的方法叫做错位相减法, (2) 注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆，(3) 和中已知任意三个可求第四个， (4) 若公比q的值不明确，则应对q1和q进行讨论.三 典型例题 （给出投影）例1 在等比数列 中， （1）已知，求(2已知，q，求. 方法 （1）题直接代入公式 (2题直接代入公式 .设计意图：剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式.变式 已知是等比数列，请完成下表：题号qn(1)8(2)
8、278(3) 设计意图：熟练公式运用，着重强调公式的选择.例2 求等比数列的第5项到第10项的和方法1：观察发现 .方法2：此等比数列的连续项是从第5项到第10项构成一个新的等比数列.设计意图：本例由书中的例题改编而成，一题多解及变式,有利于提高思维的灵活性和梯度.变式 求的前n项和例3 求和方法 因为a的值不知道，所以数列不一定是的等比数列，于是要对a的取值进行讨论 .当a时，数列不是等比数列，当时，数列是各项都等于的常数列，当a0且a1时，数列是首项是1，公比是a的等比数列， .设计意图：含参问题，分类讨论；逐层深化，发展思维；突破难点，提高素养.四 课堂小结1. 了解和掌握错位相减法，并会用其求和，2. 掌握等比数列前n项和公式和简单的应用，3. 对于含字母的等比数列，要注意考察公比是否为1，4. 再介绍两种推导等比数列求和公式的方法.（作机动）方法1：提取公比q （1方法2：利用和比定理 q （1五 课后作业必做题 课本P61 习题2.5 1，3选做题 1）设等比数列的前n项和为，若，求数列的公比q,2) 求和 x
