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1、不等式高级水平必备目录Ch1. 伯努利不等式Ch2. 均值不等式Ch3. 幂均不等式Ch4. 柯西不等式Ch5. 切比雪夫不等式Ch6. 排序不等式Ch7. 琴生不等式Ch8. 波波维奇亚不等式Ch9. 加权不等式Ch10. 赫尔德不等式Ch11. 闵可夫斯基不等式Ch12. 牛顿不等式Ch13. 麦克劳林不等式Ch14. 定义多项式Ch15. 舒尔不等式Ch16. 定义序列Ch17. 缪尔海德不等式Ch18. 卡拉玛塔不等式Ch19. 单调函数不等式Ch20. 个对称变量法Ch21. 个对称变量法Ch22. 法Ch23. 法Ch24. 法Ch25. 拉格朗日乘数法Ch26. 三角不等式Ch2
2、7. 习题与习题解析Ch1. 伯努利不等式1.1若实数（）各项符号相同，且，则： 式为伯努利不等式.当时，式变为： Ch2. 均值不等式2.1若为正实数，记： ，为平方平均数，简称平方均值； ，为算术平均数，简称算术均值； ，为几何平均数，简称几何均值； ，为调和平均数，简称调和均值.则： 时，等号成立. （注：当且仅当.）式称为均值不等式.Ch3.幂均不等式3.1设为正实数序列，实数，则记： 式的称为幂平均函数.3.2若为正实数序列，且实数，则： 当时，式对任何都成立，即关于是单调递增函数.式称为幂平均不等式，简称幂均不等式.3.3设为非负实数序列，且，若为正实数序列，且实数，则： 式称为加
3、权幂平均函数.3.4若为正实数序列，且实数，对则： 即： 当时，式对任何都成立，即关于是单调递增函数.式称为加权幂平均不等式，简称加权幂均不等式.Ch4. 柯西不等式4.1若和均为实数，则： 时，等号成立.（注：当且仅当.）式为柯西不等式.4.2柯西不等式还可以表示为： 简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方”我们将简称为积均值，记：.则：，即： 4.3推论1：若为实数，则： 时，等号成立.式是柯西不等式的推论，称权方和不等式.4.4推论2：若和均为实数，则： 时，等号成立.4.5推论3：若为正实数，则： Ch5. 切比雪夫不等式5.1若；，且均为实数.则： 或时，等号成立.式为切比雪夫不等式
4、.由于有，条件，即序列同调，所以使用时，常采用 (注：不失一般性)5.2切比雪夫不等式常常表示为： 简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值”.即：对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时，两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值. 则：即： Ch6. 排序不等式6.1若；为实数，对于的任何轮换，都有下列不等式： 式称排序不等式（也称重排不等式）.其中，称正序和，称反序和，称乱序和. 故式可记为：正序和乱序和反序和 6.2推论：若为实数，设为的一个排序，则： Ch7. 琴生不等式7.1定义凸函数：对一切，若函数是向下凸函数，则： 式是向下凸函数的定义式.注：表示区间和函数在区间都是实数
5、.7.2若对任意，存在二次导数，则在区间为向下凸函数；时，若，则在区间为严格向下凸函数.7.3若在区间为向下凸函数，则函数在在区间对任何也是向下凸函数.7.4若是一个在区间的向下凸函数，设，为实数，且，则对任何，有： 式就是加权的琴生不等式.简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”.Ch8. 波波维奇亚不等式8.1若是一个在区间的向下凸函数，则对一切，有： 式就是波波维奇亚不等式.8.2波波维奇亚不等式可以写成： 简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值”.8.3若是一个在区间的向下凸函数，则： 其中：，（对所有的）式是
6、普遍的波波维奇亚不等式.当，时，代入式得：即： 式正是式.Ch9. 加权不等式9.1若，（），且，则： 式就是加权的均值不等式，简称加权不等式.式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值.Ch10. 赫尔德不等式10.1若实数，实数且，则： 时，等号成立.式称为杨氏不等式.10.2若和为正实数，且，则： 式称为赫尔德不等式. 时，等号成立.10.3赫尔德不等式还可以写成： 即：，即： 简称：“幂均值的几何均值不小于积均值”.（注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是，切比雪夫要求是同调；赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大.）10.4若、和为三个正实数序列，且，则： 式称为加权赫尔德不等式.
7、时，等号成立.10.5若(;)，为正实数且，则： 式称为普遍的赫尔德不等式.10.6推论：若，则： 简称：“立方和的乘积不小于乘积和的立方”.Ch11.闵可夫斯基不等式11.1若；为正实数，且，则： 时，等号成立.式称为第一闵可夫斯基不等式.11.2若；为正实数，且，则： 时，等号成立.式称为第二闵可夫斯基不等式.11.3若；为三个正实数序列，且，则： 时，等号成立.式称为第三闵可夫斯基不等式.Ch12.牛顿不等式12.1若为任意实数，考虑多项式： 的系数作为的函数可表达为：；（）；（）.对每个，我们定义 则式类似于二项式定理，系数为：.12.2若为正实数，则对每个有： 时，等号成立.式称为牛
8、顿不等式.Ch13.麦克劳林不等式13.1若为正实数，按定义，则： 时，等号成立.称麦克劳林不等式.Ch14.定义多项式14.1若为正实数序列，并设为任意实数.记：；为所有可能的积之和，遍及的所有轮换.14.2举例说明 ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第和第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个和第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是.故：.即： ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.
9、第个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个和第个参数的指数是.故：. ：表示共有个参数的所有积之和，共有项.第个参数的指数是，第个参数的指数是，第个参数的指数是.故：.由于表达式比较多，所以我们规定：（）.Ch15.舒尔不等式15.1若，且，则： 式称为舒尔不等式.15.2 解析式；将上式代入式得：即：即：即： 式与式等价，称为舒尔不等式.15.3若实数，设，则： 或及轮换，等号成立.按照式写法，即：，则： 式是我们最常见的舒尔不等式形式.15.4推论：设实数，实数且或，则： 式中，就得到式.15.5推论：设实数，
10、则： 15.6推论：若，则对于一切，有： Ch16. 定义序列16.1设存在两个序列和，当满足下列条件： 且 对一切，式都成立.则：就是的优化值，记作：.注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较.Ch17.缪尔海德不等式17.1若为非负实数序列，设和为正实数序列，且，则： 或时，等号成立.式就缪尔海德不等式.17.2解析式若实数，实数，且满足，；设，则：满足序列条件，则：即式为： 用通俗的方法表达即： 式就缪尔海德不等式的常用形式.17.3例题：设为非负变量序列，考虑和.由16.1中的序列优化得：由缪尔海德不等式式得： 将代入得：即： 由柯西不等式：即：即： 式式等价，这就证明了式是成立的
11、，而缪尔海德不等式直接得到式是成立的.式可以用来表示，这正是缪尔海德不等式的式.Ch18.卡拉玛塔不等式18.1设在实数区间的函数为向下凸函数，且当（）两个序列和满足，则： 式称为卡拉玛塔不等式.18.2若函数为严格向下凸函数，即不等取等号，且，则： 若函数为严格向上凸函数，则卡拉玛塔不等式反向.Ch19.单调函数不等式19.1若实数函数在区间对一切为单调增函数，则当时，有；若在区间对一切为严格单调增函数，当时，有.19.2若实数函数在区间对一切为单调减函数，则当时，有；若在区间对一切为严格单调减函数，当时，有.19.3若实数函数在区间为可导函数，当对一切，则在区间为单调递增函数；当对一切，则
12、在区间为单调递减函数.19.4设两个函数和满足下列条件： 函数和在区间是连续的，且； 函数和在区间可导； 导数对一切成立，则对一切有： 式就是单调函数不等式.Ch20.个对称变量法20.1设，对于具有变量对称形式的不等式，采用下列变量代换：；，则.代换后的不等式，很容易看出其满足的不等式关系，这样证明不等式的方法称为法.20.2常用的代换如下： 20.3常用的法的不等式若，则： Ch21.个对称变量法21.1在的不等式中，采用下列变量代换：；.上述变换强烈含有“平均”的意味：对应“算术平均值”；对应“积均值”；对应“几何平均值”.21.2当时，则： 式称为傻瓜不等式.即：“算术平均值”“积均值
13、”“几何平均值”.21.3若，则 式称为正值定理.21.4若，任给，则当且仅当，且时，则：，等式成立.这称为定理.Ch22.法22.1 法即设；.则函数变换为.这与Ch20.个对称变量法类似.22.2若函数是单调的，则当时，达到极值.22.3若函数是凸函数，则当时，达到极值.22.4若函数是的线性函数，则当时，达到极值.22.5若函数是的二次三项式，则当时，达到极值.Ch23.法23.1 法即23.2本法的全部思想是将给出的不等式改写成以下形式： 其中，分别都是的函数. 若，则； 若或，且，则； 若或，且，则； 若，且，则； 若或或，且，则.23.3 常用的形式 Ch24.法24.1 法即本法对多于个变量的对称不等式非常有用.24.2 设为任意实数序列， 选择使，； 用其平均数代替和，经过多次代换后各项（）都趋于相同的极限.24.3 设实数空间的函数是一个对称的连续函数，满足 其中，序列是由序列经过预定义变换而得到的.预定义变换可根据当前的题目灵活采
