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1、第二讲 流体运动微分方程一、应力张量作用在流体上的力可以分为两类，即质量力和表面力两大类。作用在连续介质 表面上的表面力通常用作用在单位面积上的表面力应力来表示，参见图 2-1，即 p = lim P(2-1)n AAtO AA式中n为表面积AA的外法线方向；AP为作用在表面积AA上的表面力。pn除了与空间位置和时间有关外，还与作用面的取向有关。因此，有p = p (M ,t,n)nn需要特别指出，0应力pn表示的是作用在以n为外法线方向的作用面上应力，其下 标n并不表示应力的方向，而是受力面的外法线方向，见图2-1；一般来说，应力 p“的方向并不与作用面的外法线n 一致,pn除了有n方向的分
2、量pnn外，还有t方向 的分量p。只有当p =0时p才与n的方向一致；3图中AA右侧的流体通过AA nTnTn作用在左侧流体上的力为AP=p“AA,而AA左侧的流体通过AA作用在右侧流体上的 力为AP=pfAA,这两个力互为作用力和反作用力，所以有p AA = - p AAn一 n可得p =-p(2-2)y图 2-2 一点处的应力状态-n为了研究一点处微元面积上的表面力，先 在流体中以M为顶点取一个微四面体，如图2-2 所示。设 MA=Ax，MB=Ay，MC=Az，AABC 的 法向单位矢量为n，则n = cos(n, x)i + cos(n, y) j + cos(n, z )k或简写为2-
3、3)n = n i + n j + n kx y z设AABC的面积为AS,于是AMBC、AMCA、AMAB的面积可分别以AS、AS、xyAS表示为zAS = ASnxx AS =ASn(2-4)yyAS = ASn四面体的体积可表示为AV = - ASh3式中h为M点到AABC的距离。根据达朗贝尔原理，可给出四面体受力的平衡方程 为p AS + p AS + p AS + p AS + f AV = 0-x x - y y- zz n当四面体趋近于M点时，h为一阶小量，AS为二阶小量，AV为三阶小量，略去高 阶小量后可得p AS + p AS + p AS + p AS = 0-xx -y
4、y-zzn再考虑式( 2-2)和( 2-4)可得2-5)上式在直角坐标系中的投影可表示为p= n p+ n p+ n pnxxxxyyxzzxp= n p+ n p+ n pnyxxyyyyzzyp = n p + n p + n p上式也可以用矩阵形式表示为nz x xzy yzzz2-6)ppnx nyP =nnzpxxpyxpzxpxypyypzypxzpyzpzz2-7)也可以表示为式中pppxxxyxzP=pppyxyyyzpppzxzyzz2-8)称为应力张量。这里需要着重指出的是：Q应力张量各分量的两个下标中，第一个下标表示的 是该应力作用面的法线方向；第二个下标表示的是该应力的
5、投影方向，例如pxy表示 xy 它是作用于外法线为x轴正向的面积元上的应力px在y轴上的投影分量。Q应力张 量 P 描述的是某一点处的应力状态，过该点的任意一个曲面上的应力 pn 均可由式 （2-7 ）确定。与矢量相似，张量也是客观的，正如矢量确定以后，它的大小和方向不会随着坐标系的改变而改变，所改变的只是在不同坐标系下其分量的大小。无粘流体或静止流场中，由于不存在切向应力，即pi=0 （详j）,此时有pxx00 一-p00 一1000p0=0-p0=-p010yy00p _00-p _001ijzz式中 I 为单位张量， p 为流体静压力。流体力学中，常将应力张量表示为2-9)P = - p
6、I +T2-10)式中p为静压力或平均压力，由于其作用方向与应力定义的方向相反，所以取负值; T 称为偏应力张量，即tttxxxyxztttyxyyyztttzxzyzz偏应力张量的分量与应力张量各分量的关系为:i=j时,p.为法向应力，t ii = pi-p； ijii ij当iHj时p.为粘性剪切应力，t . =p.o t .=0的流体称为非弹性流体或纯粘流体，ijij ijiit严0的流体称为粘弹性流体。二、应变张量与刚体相比，连续介质运动过程中还有可能发生变形，因此连续介质的运动比刚体的运动要复杂得多。在这里，首先回顾一下刚体运动速度分解定理。刚体的运图 2-3 一点邻域的速度动可以分
7、解为随质心的平动和绕质心的转动，即u =+ X 力其中u0为刚体质心的平动速度；u为刚体内部任 意一点处的运动速度；3为刚体绕质心的旋转角 速度； dr 为质心至某点的微元矢量。在t时刻的连续介质中取出包括点M0 （x，y， z）的任意微元体积，同时取微元体积内的另一点M (x+dx, y+dy, z+dz),如图2-3所示。假设点M0的速度为u (x, y, z),当dr= (dx, dy, dz)为小量时，M点的速度可用M0的速度的泰勒展开式来表示，即u(M) = u(M ) + du = u(M ) +dx + dy + dz00dxdydz或分量形式u(M) = u(M ) + du
8、= u(M ) + 型 dx + 理 dy + 包 dz00 dxdydzv(M) = v(M ) + dv = v(M ) + V dx + dy + dz00dxdydzdwdwdww(M) = w(M ) + dw = w(M ) + dx + dy +dz00 dxdydz2-11)它可以用矩阵dudvdwad一axav一ax呢一ax一ad一azav一az迦az ad一级av一级匹级dxdydz2-12)显然，du或(du, dv, dw)是M点相对于M0点的相对运动速度, 的形式为上式中的方形矩阵可分解为卸azI妇azI亦一利 ad一ay色ay% 一ay ad一axav一ax% 一a
9、x- -、 丿、丿ad一ayad一az- -av一ax% 一ax1-2 12=、 丿、 丿 也ax迦內 - - ad一az色az 12、 丿av一ax-迦级12、 丿av一az-亦一级12dudx1 ( du dv +2 ( dy dx 丿1 ( du dw )2(dz dx 丿1 ( du dv + 2 (dy dx 丿dvdy1 ( dv dw 一 + 一1 ( du dw )2 ( dz dx 丿1 ( dv dw -一 + 一2 (dz dy 丿2 ( dz dy 丿dwdz( 2-13)这两个矩阵在流体力学= RD上式中第一个矩阵R是反对称的，第二个矩阵D是对称的， 中也称为二阶张量
10、,下面就来具体分析这两个张量的物理意义。反对称矩阵R中的九个分量中只有三个独立分量，即1 ( dw dv、21 ( du2 (dz3 2( dxdy 丿2-14)这三个分量恰好就是流体微团旋转角速度矢量的三个分量，因此，将R称为旋转张2-15)量。同时（o=m1i+m2j+m3k也就是速度矢量的旋度的一半，即w = V x u2对称矩阵D中的九个分量中只有六个独立分量,DxxdudxDxxdudxDxxdudxD = D xy yx( du d v 、1( dy d x 丿1( d v dw 、八八1 (D = D =-+,D = D =jzzj 2(dz dJ 丿xzzx 2 (色+空dzd
11、x2-16)D. （/=x，j，z）恰好是流体力学中研究过的流体微团在三个坐标轴方向上的线应变速 率，而D. （I=x, j, z； j=x, j, z且I勺）也恰好是其角变形速度。因此，流体力学中 ij将张量D称为应变速率张量，或简称为应变张量，将R+D称为速度梯度张量，用 gradu 表示。在非牛顿流体力学中，也常用一阶Rivlin-Ericksen张量A来表述应变速率的大 小，它与 D 的关系为A=2D（2-17）一阶Rivlin-Ericksen张量A的分量直角坐标系中的表达式可由式（2-16和17）得出，其在柱坐标系和球坐标系中的表达式的推导比较复杂，其结果见表2-1。表2-1 一阶
12、Rivlin-Ericksen张量A的分量在柱坐标系和球坐标系中的表达式柱坐标系（R, 0， Z）柱坐标系（r, 0，卩）a c dUA = 2rrdr2 (dv、=+ u八刖A = 2 dwzzdz du dv vA =+-竹 rd0 dr rdudwA =+ -rzdzdrdvdwA =+ 去dzrdBAeeA = 2 durrdr2 (dv 、r(d 丿dw + u sin 0 + v cos0丿、+ 2vdr丿dw - w sin 0dr丿(dvdw sin 0J+ 一 2w cos0d0丿A门申申 rsin0 (dp1 (du , drv(d0Ar0 r(du. 0+ r sin 0
13、A门4 r sin 0( dpf 申 r sin 0( dp由矩阵分析可知，对称张量 A 有三个不变量，即I = trA = Aii(I )2（i）II=一 trA22A A12 JJ 2 j j 丿2-18)III = det A = lAj其中最常用的是第二不变量，用来描述流场的剪切速率的大小，在简单剪切流动中 常用丫来表示。例2-1试分析下板不动上板做匀速运动的两个无限大平板间的简单剪切流动u = ky ， v = 0 ， w = 0式中 k 为常数，且 k=u0/b。 解：由速度分布和式（2-14、16 和 17）可得0k/20R=-k/200000-0 k0_A=2D =k 000 00图 2-4 简单剪切流动再由式（2-18）可得I = trA = A = A + A + A = 0ii xx yy zzII=21trA2trk2所以 II=k=u0/b
