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1、word圆锥曲线的第三定义与运用一、 椭圆和双曲线的第三定义1. 椭圆在椭圆中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，假如存在，如此有：证明：构造PAB的PA边所对的中位线MO，由点差法结论：知此结论成立。2. 双曲线在双曲线中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，假如存在，如此有：证明：只需将椭圆中的全部换成就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。二、 与角度有关的问题例题一：椭圆的离心率，A、B是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线的一个交点，令，如此.解答：令，由椭圆第三定义可知：点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要
2、很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点。变式1-1：石室中学2015级高二下4月18日周末作业双曲线的左右顶点分别为A、B，P为双曲线右支一点，且，求.解答：令，如此，由双曲线的第三定义知：如此：点评：与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1即表示sin=cos，cos=sin两角互余，如此可解出的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。三、 与均值定理有关的问题例题2：A、B是椭圆 长轴的两个端点，M、N是椭
3、圆上关于x轴对称的两点，直线AM、BN的斜率分别为，且。假如的最小值为1，如此椭圆的离心率为.解答一第三定义+均值：由题意可作图如下：连接MB，由椭圆的第三定义可知：，而解答二特殊值法：这道题由于表达式非常对称，如此可直接猜特殊点求解。时可取最值，如此M、N分别为短轴的两端点。此时：。点评：对于常规解法，合理利用M、N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正，又构造了“二定，利用均值定理“三相等即可用a、b表示出最值1。当然将前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解法一样，即变式2-1。变式2-1：A、B是椭圆 长轴的两
4、个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM、BN的斜率分别为，且。假如的最小值为1，如此椭圆的离心率为.解答：连接MB，由椭圆的第三定义可知：，而变式2-2：A、B是椭圆长轴的两个端点，假如椭圆上存在Q，使，如此椭圆的离心率的取值X围为.解答一正切+均值：令Q在x轴上方，如此直线QA的倾斜角为，直线QB的倾斜角为。，由椭圆的第三定义：，如此带入可得：取等条件：，即Q为上顶点而tanx在单增，如此Q为上顶点时，所以此时，故解答二极限法：当Q趋近于A、B两点时，此时Q点所在的椭圆弧趋近于以AB为直径的圆的圆弧，相当于直径所对的圆周角；当Q在A、B间运动时Q在以AB为直径的圆内部，直径所对的
5、圆周角=90，由椭圆的对称性可猜想当Q为短轴端点时。由于：椭圆上存在Q，使，那么 Q为短轴端点时。取临界情况，即Q为短轴端点时，此时；当椭圆趋于饱满时，椭圆趋近于圆，圆的直径所对的圆周角永远为90，不满足；当椭圆趋于线段时，满足。故。当然这些只需要在头脑中一想而过，简洁而有逻辑。点评：这道题可以增加对于圆周角的理解，在用极限法讨论：“当Q趋近于A、B两点时，时能会颠覆“的认知，当然这肯定是错的，结合常规解法可以看出此时是角最小的情况，而不是角最大的情况。要搞清楚，不然会被弄晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二：与第三定义发生联系tanx在单增便于利用tanx的大小比拟角度的大小。四
6、、 总结归纳1. 上述局部题目的常规解法较复杂，但做题时一定要能猜答案，而且要猜得有理由。2. 对于均值不等式，注意取等条件是“三相等，即相等时取最值。这可以帮助猜想表达形式是高度对称的式子的最值，如：例题23. 极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值，如：变式2-2中P在椭圆上滑动，角度的变化一定是光滑的无突变，连续， 所以只需考虑边界值。4. 做几何的选填题时，有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角，注意学会恰当运用，如：变式2-2。5. 常以正切值刻画角度大小。6. 在做综合性较大的题目时要联系各种知识，灵活转化，以最巧妙的方法致胜。7. .8. .五、 方法针对上文提到的“圆周角找
7、最大角与“椭圆中另一类均值进展拓展补充，各附例题。例题3：在平面直角坐标系XOY中，给定两点 和，点P在X轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为. 解答一正切+均值：、，与x轴交于令，如此：， 当时， 当时，的倾斜角较大，令，如此此时， 当时，的倾斜角较大，如此此时，由于，且在上单增，此时解答二圆周角定理：此题中的取极值时的P点的几何意义为：过M、N的圆与x轴切于P点。下面给出证明：证明：以与x轴切于点的圆满足所求最大角为例：由于是过M、N两点的圆的一条弦，由垂径定理知圆心在上随着圆心横坐标从0开始增大：当半径r较小时，圆与x轴无交点；当半径稍大一点时，圆与x轴相切，有一个交点；当半径更大一点
8、时，圆与x轴有两交点、。此时：根据圆周角定理：，可知：圆与x轴相切时，。 R较小的情况圆与x轴相离 R较大的情况圆与x轴相交于、所以：过M、N的圆与x轴切于、点时，分别有只需比拟与，哪一个更大。令与x轴相切的圆的圆心为，如此切点，半径为y圆满足：消去y比拟可知：当x=1时，点评：常规方法依旧是利用正切度量角的大小，但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角，才能得到正角；均值时要注意以分子一次为新元构建均值。用圆周角角的性质解答，只要转化为切点，解一个方程组，比拟两个角谁大就行了。不比拟也行，画图可知右边角大于左边角：弦长相等，半径越大，弦所对的圆周角越小。其实两种解法的难度是一样，只是一种要
9、写得多，一种要想得多。变式3-1：假如G为ABC的重心，且，如此的最大值为.解答一余弦定理+均值：令，如此由由点间的距离公式：，由余弦定理：由于：解法二圆周角定理：令，如此题目转化为：，满足：，求的最大值。目测可知时，下面以来证明。过，作圆O：假如C不在点，令AC交圆O于Q点。由圆周角定理： 证得此时由余弦定理点评：可以说这道题与例题3有异曲同工之妙，直观感觉加上圆周角定理可以说是画几个圆就解出题了。其实余弦函数在单调，也可用来度量角的大小。不过更值得一提的是两种方法以不同的方式，间接地表现了题中点的关系，设点的方式值得思考领悟。解法一照顾垂直结论，把重心放在原点，利用重心的坐标很好地刻画了C点的坐标；解法二联系圆的直径所对圆周角为直角表示垂直条件，以同样方式刻画C点的坐标。两种方式都完全的展现了题目中的关系。例题4：对椭圆用均值：过椭圆上一点P引圆O：的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，直线AB与x轴、y轴分别相交于M、N，如此OMN面积的最小值为.解答：设，P点满足在圆外，如此圆的切点弦方程为：点评：解法巧妙，很难想到，权当欣赏。注意看到题目就要马上联想到圆的切点弦方程，当遇到面积表达式中含有时，可对椭圆进展均值，构造的X围。 /
