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1、word不等式不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉与到不等式内容的考点所占比例超过70%。一方面，考查不等式的性质、解法、证明以与实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个局部都存在着密切的联系。因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。第一节 根本不等式1.证明：当,展开后即可得到所求不等式与等号成立的条件。2.根本不等式的变形包括2个方面假如,假如,假如,(上述3个不等式，考虑如何证明？)注：上述的不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。 注意：不等式的右边是例题1.解：，；求有两种方法，其一是配式，；另一种
2、方法是，由,。例题2. ,求证：。证明：由根本不等式得：，而条件是,即对于不等式等号成立，即。注：此题把等号成立的条件，作为求证的目标，比拟新颖。例题3.解：,这里,.注：解答此题的关键是，如何运用好，两次使用了根本不等式，但不矛盾。例题4. 求的最大值。解：函数的定义域为,可以用其它的方法来解，比如用两边平方转化成二次函数求极值等。但由于两式平方和为常数3，故应用根本不等式的变形公式简单些。2，当且仅当时成立，故。例题5. ,如此的最小值为 。解：当且仅当等号成立，的最小值为16.注：这里要求2元表达式的的最值，不能直接整体应用根本不等式即不能直接整体消去a、b而且也没有给出条件等式即不可能
3、代入消元,因此，对局部用根本不等式的变形公式进展处理。例题6.假如二次函数的值域为0,+),如此的最小值为 。解：由题意得 如此，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以的最小值为。注：此题也可用消元法，由消去a或c，比拟麻烦。例题7.a,b,c0,且例题8.a,b,c0,且的最大值为 。解：,当且仅当等号成立，所求的最大值为。例题9.函数的定义域是a,b,其中，(1)求的最小值；(2)假如,求证：.解：(1)由根本不等式的变形公式可得，,上面各式等号成立的条件都是：时取得虽然两次使用了根本不等式，但x的取值不矛盾，。(2)设时，由(1)的结论可得：,同理 由得：.上面两次用到根本不等式，等号成立
4、的条件都是s=2时取得，(2)得证。例题10. 两条直线和图象从左至右相交于A,B,与函数图象从左至右相交于C,D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，的最小值为 。解：在同一坐标系中作出, 图象，令,故由,当且仅当，即取等号，故(。注：此题经过巧妙的伪装,将根本不等式融入到函数中，将文字语言转化为符号语言，实现根本不等式模型的构建，对学生的运算能力和思维水平提出了很高要求，具有较好的区分度。例题11. 假如平面向量满足，如此的最小值是 。解：由，两边平方，得4，由根本不等式得：4(当且仅当)。设为夹角(),如此当时，(当且仅当)，因此。注：此题将根本不等式与向量相结合
5、，通过将向量的模平方，借助根本不等式和斜率数量积的性质，建立关于的不等式。此题视角独特，构思精心。例题12. 函数图像上两相邻的最低点与最高点之间的最小值是 。解：如图，设函数图像上两相邻点中最高点为A,最低点为B且过A点平行与x轴的直线与过B点垂直于x轴的直线相交于C,如此，即，故。注：此题将根本不等式渗透到三角函数中，关键是运用三角函数的周期、振幅，合理表示出相邻的最低点与最高点的距离。此题情景新颖，自然贴切，这种不拘题型约束的命题方式是高考的一大亮点。例题13. 设是等比数列，公比，的前n项和，记。记为数列的最大项，如此( ).解：由题意，此时。注：此题将根本不等式嵌入数列解题中，运用数
6、列的根本量与性质将条件转化为关于n的代数式，通过换元后转化为根本不等式模型。例题14. 一个四面体的一条长为x，其余所有棱长均为1，如此此四面体体积V的最大值是 。解：由题意得：(当且仅当等号成立)，故的最大值是。注：此题把根本不等式与立体几何的相关知识进展交汇，如果学生对空间图形有较深刻的认识，可以准确建立V(x)的函数关系式以后求解，使问题的综合性进一步加强，充分表现出数学试题的多变性。例题15. 平面直角坐标系xoy中，点A(0，1),B点在直线上，M点满足点M的轨迹为切线C,(1) 求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在得P处的切线，求O点到l的距离的最小值。解：(1)所以l的斜率
7、为故l的方程为如此O点到l的距离,又，O点到l的距离的最小值为2.第二节 “对勾函数的图象、性质与应用“对勾函数与根本不等式有着密切的联系，其图像如右图，当x0时,; 当x0时，两图像的切点位置是与动圆半径大小有关的(如图)，只有半径较小时，才可能相切于C。,令,如此式可化为：,解得.注：解答此题有两个问题需要注意，一是用数形结合的方法解题时，直觉有可能是错误的；二是解析式与的可代换关系，这样的关系还存在于sinxcosx与sinxcosx;等。如果将“对勾函数变形为：(a,bR),研究其图像、性质对解题是很有必要的。(1)(a0,b0)此函数是由叠加而成，通过分析两个简单函数的图像特征，画出
8、其叠加函数的图像，是数学能力的一种表现。由图像可知:关于原点对称； 时，函数存在极小值点A();时，函数存在极大值点B();递减区间为：(),), 递增区间为：(),();两条性质可通过导数证明存在两条渐近线：(渐近线在通过作图解题时，起作用)。(2) 其余的三种情况的图像如下：其性质由同学们自己小结，在此不在赘述。例题2.假如函数的值域是,如此函数的值域是 。解：设,如此,只要画出函数的图像可知：.注：此题看似简单，但取不同的表达式时，情况可能变得很复杂。例题3. 设定义在(0,+)上的函数(a0)求的最小值。解1.根本不等式法,当且仅当时等号成立，.解2.判别式法设，如此有,显然,解得(舍
9、去)，故应将代入得：即,因此。注：当主元x有X围使用判别式法时，都应将所求最值回代，检验x的解是否在给定的X围内解3.求导数法由题意,有;有.故当时，函数时，函数，因此。变式1：设定义在(0,+)上的函数(a0)求的最小值。变式2：设定义在(0,)上的函数(a0)求的最小值。变式3：设定义在0,+)上的函数(a0)求的最小值。变式4：设函数(a0)求的最小值。变式5：设定义在(1,+)上的函数(a0,a1)求的最值。注：以上5个变式，假如以填空题的形式解答，可使用变量代换，用“对勾函数的图象直接得到答案；假如以解答题的形式解答，应使用求导数的方法证明。变式6：讨论函数(a0,c0,n取正整数)
10、。解：,当n为奇数时，函数是奇函数，只要讨论;当n为偶数时，函数是偶函数，只要讨论。例题4.求函数,的最值。解：由于函数的分子分母的次数都是2，因此采用“配式法降低分子的次数；令,如此再令,.注：求型如函数的最值(值域)，可通过换元法() 转化为函数，只要讨论的极值即可；当所求函数的分子分母的次数一样时如此题应采用“配式法降低分子的次数，转化成的形式。例题5.,假如对不等式10在上恒成立，求b的取值X围。解：函数上单调递减，在上单调递增，如此上的最大值为.由, 不等式10在上恒成立,有即 解得.注：将不等式恒成立问题转化为最值问题，是常见的转化形式。变换主元，把看成关于a的一次函数, 不等式1
11、0恒成立(分两步进展)，10恒成立，在上单调递减10,解得：.至少有一个实根在区间1,2内,如此实数a的取值X围是( ).练习2.假如,如此函数的最大值是 。 最小值 (4) 第三节 判别式法解题利用一元二次方程的判别式求某些函数的值域或极值的方法，称为判别式法。判别式法的使用通常是对含有参数的二次方程。例题1.求函数。解：由判别式可知分母，两边同乘以得：,将此式看成是x的方程，必有实数解，=解得：，即函数例题2. 求函数。解：当时分母虽然为0，但分子x+40，变形后仍然可得到关于x的二次方程，将函数的两边同乘得：,此方程x显然有实数解，=,解得：，二次项系数y0，函数为注：在使用判别式法求分
12、式函数的值域时，应注意两点：一是分式的表达式不能约分，二是变形后，二次项系数为0的y在求得的y的X围内，要代入方程验证。例题3. 求函数解：,由函数的定义域知，式的值域为;再将代入式,得到的须删除,函数注：函数的表达式中的分式，可约分时应先约分，再求值域，最后删除定义域中不存在点所对应的函数值。例题4. 设为实数，且首项为公差为d的等差数列的前n项和为，满足，求公差d的取值X围。解：,将其代入并化简得：此式可看成是关于的二次方程，=，解得：。注：由于方程(*)中的，是方程有解的充要条件，因此不必要再对结果进展检验了。此题也可以求的取值X围，方法一样。例题5.,试问实数为何值时，取得最大值？解1
13、：利用根本不等式略。解2：设代入题设等式并整理得：=，解得：或。由知,由令，代入(*)式，可解得满足题设条件，所以.注：把式看成关于a的二次方程，是方程在有解的必要条件(不是充要条件)，因此需要通过检验说明最值的取得是合理的。变式：实数满足,如此b的取值X围是 。例题6. 如图建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。解：(1)令(2)设飞行物的坐标为(a,3.2)(a0),要击中飞行物，其坐标必须在炮弹飞行的轨迹方程上，即,整理成关于k的二次方程得：,解得：由,要检验，将代入(*)式，解得a的最小值为6.注：把(*)式看成关于k的二次方程，只是方程在上有解的必要条件并不充分，应当通过检验“当，说明a能取得最大值6.例题7. 如图某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B与CD的中点P处，AB=20km,BC=10km
