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1、说课题目:等比数列的前n项和(第一学时)长沙市六中 钟辅君 (选自人教版高中数学第一册(上)第三章第五节)一、教材分析1.从在教材中的地位与作用来看等比数列的前n项和是数列这一章中的一种重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,并且公式推导过程中所渗入的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想措施,都是学生此后学习和工作中必备的数学素养2.从学生认知角度看从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一种
2、突破,此外,对于q = 1这一特殊状况,学生往往容易忽视,特别是在背面使用的过程中容易出错3. 学情分析教学对象是刚进入高中的学生,虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但由于年龄的因素,思维尽管活跃、敏捷,却缺少冷静、深刻,因此片面、不严谨4. 重点、难点教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用教学难点:公式的推导措施和公式的灵活运用公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和措施中最常用的措施之一,它蕴含了重要的数学思想,因此既是重点也是难点二、目的分析知识与技能目的:理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基本上能初步应用公式解决与之有
3、关的问题过程与措施目的:通过对公式推导措施的摸索与发现,向学生渗入特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观测、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力情感与态度价值观:通过对公式推导措施的摸索与发现,优化学生的思维品质,渗入事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点三、过程分析学生是认知的主体,设计教学过程必须遵循学生的认知规律,尽量地让学生去经历知识的形成与发展过程,结合本节课的特点,我设计了如下的教学过程:1.创设情境,提出问题在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大为赞赏,对她说:我可以满足你的任何规定西萨说:请给我棋盘的64个方格上,第一格
4、放1粒小麦,第二格放2粒,第三格放4粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第64格国王令宫廷数学家计算,成果出来后,国王大吃一惊为什么呢?设计意图:设计这个情境目的是在引入课题的同步激发学生的爱好,调动学习的积极性故事内容紧扣本节课的主题与重点此时我问:同窗们,你们懂得西萨要的是多少粒小麦吗?引导学生写出麦粒总数 带着这样的问题,学生会动手算了起来,她们想到用计算器依次算出各项的值,然后再求和这时我对她们的这种思路予以肯定设计意图:在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”,急匆匆忙地抛出“错位相减法”,这样做有悖学生的认知规律:求和就想到相加,这是合乎逻辑顺理
5、成章的事,教师为什么不相加而立即相减呢?在整个教学核心处学生难以转过弯来,因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍同步,形成繁难的情境激起了学生的求知欲,迫使学生急于谋求解决问题的新措施,为背面的教学埋下伏笔.2.师生互动,探究问题在肯定她们的思路后,我接着问:1,2,22,263是什么数列?有何特性? 应归结为什么数学问题呢?探讨1: ,记为(1)式,注意观测每一项的特性,有何联系?(学生会发现,后一项都是前一项的2倍)探讨2: 如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项,(1)式两边同乘以2则有 ,记为(2)式比较(1)(2)两式,你有什么发现?设计意图:留出时
6、间让学生充足地比较,等比数列前n项和的公式推导核心是变“加”为“减”,在教师看来这是“天经地义”的,但在学生看来却是“不可思议”的,因此教学中应着力在这儿做文章,从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机通过比较、研究,学生发现:(1)、(2)两式有许多相似的项,把两式相减,相似的项就消去了,得到: 教师指出:这就是错位相减法,并规定学生纵观全过程,反思:为什么(1)式两边要同乘以2呢?设计意图:通过繁难的计算之苦后,忽然发现上述解法,不禁惊呼:真是太简洁了!让学生在摸索过程中,充足感受到成功的情感体验,从而增强学习数学的爱好和学好数学的信心3.类比联想,解决问题这时我再顺势引导学生将结论一般化
7、, 这里,让学生自主完毕,并喊一名学生上黑板,然后对个别学生进行指引设计意图:在教师的指引下,让学生从特殊到一般,从已知到未知,步步进一步,让学生自己探究公式,从而体验到学习的快乐和成就感对不对?这里的q能不能等于1?等比数列中的公比能不能为1?q=1时是什么数列?此时sn=?(这里引导学生对q进行分类讨论,得出公式,同步为背面的例题教学打下基本)再次追问:结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表达出来?(引导学生得出公式的另一形式)设计意图:通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的结识,完善知识构造,另一方面使学生由简朴地模仿和接受,变为对知识的积极结识,从而进一
8、步提高分析、类比和综合的能力这一环节非常重要,尽管时间有时比较少,甚至仅仅几句话,然而却有画龙点睛之妙用4.讨论交流,延伸拓展在此基本上,我提出:探究等比数列前n项和公式,尚有其他措施吗?我们懂得, 那么我们能否运用这个关系而求出sn呢?根据等比数列的定义又有,能否联想到等比定理从而求出sn呢?设计意图:以疑导思,激发学生的摸索欲望,营造一种让学生积极观测、思考、讨论的氛围. 以上两种措施都可以化归到, 这其实就是有关的一种递推式,递推数列有非常重要的研究价值,是研究性学习和课外拓展的极佳资源,它源于课本,又高于课本,对学生的思维发展有增进作用.5.变式训练,深化结识一方面,学生独立思考,自主
9、解题,再请学生上台来幻灯演示她们的解答,其他同窗进行评价,然后师生共同进行总结设计意图:采用变式教学设计题组,深化学生对公式的结识和理解,通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决,增进学生新的数学认知构造的形成通过以上形式,让全体学生都参与教学,以此培养学生的参与意识和竞争意识6.例题解说,形成技能设计意图:解题时,以学生分析为主,教师适时予以点拨,该题故意培养学生对具有参数的问题进行分类讨论的数学思想7.总结归纳,加深理解以问题的形式浮现,引导学生回忆公式、推导措施,鼓励学生积极回答,然后教师再从知识点及数学思想措施两方面总结设计意图:以此培养学生的口头体现能力,归纳
10、概括能力8.故事结束,首尾呼应最后我们回到故事中的问题,我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.841019粒,大概7000亿吨,用这样多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道,大概是全世界一年粮食产量的459倍,显然国王兑现不了她的承诺 设计意图:把引入课题时的悬念予以释疑,有助于学生克服疲倦、继续积极思维9.课后作业,分层练习必做: P129练习1、2、3、4选作:(2)“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”这首中国古诗的答案是多少?设计意图:出选作题的目的是注意分层教学和因材施教,让学有余力的学生有思考的空间四、教法分析对公式的教学,要使学生掌握与理解
11、公式的来龙去脉,掌握公式的推导措施,理解公式的成立条件,充足体现公式之间的联系在教学中,我采用“问题探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、摸索规律、总结规律、应用规律四个阶段运用多媒体辅助教学,直观地反映了教学内容,使学生思维活动得以充足展开,从而优化了教学过程,大大提高了课堂教学效率五、评价分析本节课通过三种推导措施的研究,使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n项和公式错位相减:变加为减,等价转化;递推思想:纵横联系,揭示本质;等比定理:回归定义,自然朴实学生从中深刻地领略到推导过程中所蕴含的数学思想,培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性同步通过精讲一题,发散一串的变式教学,使学生既巩固了知识,又形成了技能在此基本上,通过民主和谐的课堂氛围,培养了学生自主学习、合伙交流的学习习惯,也培养了学生敢于摸索、不断创新的思维品质