《江苏省高中数学联赛复赛题与答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省高中数学联赛复赛题与答（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2009年江苏省复赛试卷 冯惠愚200908242009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(2009年7月23日上午8001200)一填空题(共8小题，满分56分，每小题7分)1已知数列an的前n项和Snn23n4(nN*)，则a1a3a5a21 2若集合Ax|ax1，xR为空集，则实数a的取值范围为 3设x，y为实数，2xy1，则二元函数ux24xy22y的最小值为 4设F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左右焦点，以F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且AF1B120，双曲线的离心率的值介于整数k与k1之间，则k 5已知长方体ABCDA1B1C1D1的体积为216，则四面体A1
2、BC1D与AB1CD1的重叠部分的体积等于 6设x表示不大于x的最大整数，则log31log32log33log3258 7设方程x2n1a2nx2na2n1x2n1a1xa00的根都是正数，且其中a1(2n1)，则a0的最大值是 820091911的方格棋盘的一条对角线穿过 个棋盘格二解答题(本题满分14分)求函数f(x)sin4xtanxcos4xcotx的值域三解答题(本题满分15分) 如图，抛物线y22x及点P(1，1)，过点P的不重合的直线l1，l2与此抛物线分别交于点A，B，C，D，证明：A，B，C，D四点共圆的充要条件是直线l1与l2的倾斜角互补四解答题(本题满分15分)设a，b
3、是正数，且a1，b1，求证：(a1)(b1)2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛加试试卷一(本题满分50分)如图，在ABC中，DEBC，ADE的内切圆与DE切于点M，ABC的BC边上的旁切圆切BC于点N，点P是BE与CD的交点，求证：M，N，P三点共线二(本题满分50分)设k，n为给定的整数，nk2对任意n元的数集P，作P的所有k元子集的元素和，记这些和组成的集合为Q，集合Q中元素个数是CQ求CQ的最大值三(本题满分50分)设M222，n1，n2，nS是互不相同的正整数，求证： 222(1)四(本题满分50分)求满足下列条件的所有正整数x，y： x与y1互素； x2x1y32009年全国高中
4、数学联赛江苏赛区复赛试卷解答一填空题(共8小题，满分56分，每小题7分)1已知数列an的前n项和Snn23n4(nN*)，则a1a3a5a21 答：268解：令b1a18，bka2k1S2k1S2k2(2k1)23(2k1)4(2k2)23(2k2)44k(k2) a1a3a5a21b1b2b118812442682若集合Ax|ax1，xR为空集，则实数a的取值范围为 答：(，)(，)解：取y为抛物线y2x3的上半支yax1为经过(0，1)的直线二者无公共点易得经过(0，1)与(3，0)的直线的斜率，经过(0，1)与y2x3(x0)相切的直线的斜率从而可得a(，)(，)3设x，y为实数，2xy
5、1，则二元函数ux24xy22y的最小值为 答：解：u(x2)2(y1)25，对于每个u5，圆(x2)2(y1)25u可视为u的“等高线”2xy1表示直线上半部分平面(含直线上的点)即求当圆与该上半平面有公共点时u的最小值当时，二者有公共点此时u4设F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左右焦点，以F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且AF1B120，双曲线的离心率的值介于整数k与k1之间，则k 答：2解：2ar1r22c(sin60sin30)e1，而213故k25已知长方体ABCDA1B1C1D1的体积为216，则四面体A1BC1D与AB1CD1的重叠部分的体积等于 答：36解：
6、重叠部分是一个八面体，连长方体的各面的中心得到可看成两个四棱锥体积和，故V216366设x表示不大于x的最大整数，则log31log32log33log3258 答：932解：20(93)1(279)2(8127)3(24381)4(258242)5636162648809327设方程x2n1a2nx2na2n1x2n1a1xa00的根都是正数，且其中a1(2n1)，则a0的最大值是 答：1解：设根为x1，x2，x2n1，则x1x2x2n1()2n1而x1x2x2n1x1x2x2n11 a0(1)2n1x1x2x2n1a0x1x2x2n11且当此2n1个根都等于1时，等号成立820091911
7、的方格棋盘的一条对角线穿过 个棋盘格答：3871解：20094149；19113949在3941的方格中，对角线共穿过3941179个格子于是20091911棋盘的对角线共穿过79493871个棋盘格二解答题(本题满分14分)求函数f(x)sin4xtanxcos4xcotx的值域解：f(x)的定义域为x|xR，且x(kZ)f(x)3sinxcosx令tsinxcosxsin2x(，0)(0，)则问题转化为求g(t)3t(t(，0)(0，)的值域由于函数y及y3x在(，0)及(0，)内都是单调减的g()，g()故有g(t)或g(t)又对于(，)(，)内的任一y值，令3ty3t2yt10，由于y
8、2120，故此方程必有两个实根， t当y(，)时，取t，则显然有t0，ty3y21296yy2y即必存在t(，0)，使g(t)y当y(，)时，取t，显然有t0，而t3yy即必存在t(，0)使g(t)y从而知g(t)的值域为(，)(，)又，对于每个t(，0)(0，)，sin2xt均有解，即存在xR，使sin2xt成立 所求值域为(，)(，)三解答题(本题满分15分) 如图，抛物线y22x及点P(1，1)，过点P的不重合的直线l1，l2与此抛物线分别交于点A，B，C，D，证明：A，B，C，D四点共圆的充要条件是直线l1与l2的倾斜角互补证明：设直线l1、l2的倾斜角互补，故设l1、l2方程分别为
9、kxy1k0与kxy1k0于是曲线y22xl(kxy1k)(kxy1k)0必过点A、B、C、D即lk2x2(1l)y20(省略号表示的为一次项与常数项)令lk21l即l，此时曲线表示一圆；故四点共圆反之，设l1的方程为yk(x1)1，l2的方程为yk(x1)1 曲线y22xl(ykxk1)(ykxk1)0即(1l)y2lkkx2l(kk)xy0(省略号表示的为一次项与常数项)经过抛物线与直线的四个交点该曲线是圆的条件为于是，kk即此二直线的倾斜角互补证毕又证：设AB、CD的倾斜角分别为q与pq，则AB方程可写为 (q为参数)代入抛物线方程得： t2sin2q2(sinq cosq)t10由韦达
10、定理知 |PA|PB|t1t2| 以pq代替q，即可得 |PC|PD|，即|PA|PB|PC|PD|，故A、B、C、D共圆反之，设A、B、C、D共圆，AB、CD的倾斜角分别为与，于是，|PA|PB|，|PC|PD|由A、B、C、D共圆得sin2sin2即sin2sin2，但0，故或若，则l1与l2重合，与题意不合，舍去若，则l1与l2的倾斜角互补证毕四解答题(本题满分15分)设a，b是正数，且a1，b1，求证：(a1)(b1)证明：先证当a0时，(a1)8(a4a3a2a1)5(a1)(a3a2a1)8(a4a3a2a1)5(a4a3a2a)5(a3a2a1)3a42a32a22a3(a1)2
11、(3a24a3)0最后一式由a1及424330知恒成立故(a1)成立同理，(b1)又，因a，b为正数，故(a1)0，(b1)0 (a1)(b1)2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛加试试卷一(本题满分50分)如图，在ABC中，DEBC，ADE的内切圆与DE切于点M，ABC的BC边上的旁切圆切BC于点N，点P是BE与CD的交点，求证：M，N，P三点共线证明1：连MP，PN设ABC的BCa，BCb，ABc，ADE的DEa，AEb，ADc由DEBC，知(k)BNpc，EM故k DEBC， k， 又PBNPEM， PBNPEM BPNEPM即N，P，M三点共线证明2：设ADE的内切圆圆心为O1，ABC的BC边上的旁切圆圆心为O2，连O1M，O1D，O2N，O2BG为O2与AB延长线的切点由DEBC，故ADENBG180，但DO1，BO2分别为相应角的平分线 MDO1NBO290，又O1MDM，O2NBN O1DMBO2N BNDMO1MO2N，同理，CNEMO1MO2N， BNDMCNEM即k以下同证法1证明3：连DN，EN分别交BE，CD于点H，K连MN则，由证法2知BNDMC
