《备战2024年高考数学一轮专题复习1_7.2 等差数列讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2024年高考数学一轮专题复习1_7.2 等差数列讲义（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7.2等差数列基础篇考点一等差数列及其前n项和1.(2023届辽宁六校期初考试,3)设等差数列an的前n项和为Sn,若a6+a7+a8+a9+a10=20,则S15=()A.150B.120C.75D.60答案D2.(2015重庆,2,5分)在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1D.6答案B3.(2021重庆二模,4)已知公差不为0的等差数列an中,a2+a4=a6,a9=a62,则a10=()A.52B.5C.10D.40答案A4.(2019课标理,9,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10
2、C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n答案A5.(2022广东综合能力测试,7)记数列an的前n项和为Sn,a1=2,an+1-an1,3,5,Sk=100,则k可以等于()A.8B.9C.11D.12答案A6.(2022全国乙文,13,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=.答案27.(2020课标文,14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.答案258.(2020新高考,14,5分)将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为.答案3n2-2n9.(2022海南东方琼西中学月
3、考,17)等差数列an的前n项和为Sn,已知a10=30,a20=50.(1)求通项公式an;(2)若Sn=242,求n.解析(1)设等差数列an的公差为d,依题意有a10=a1+9d=30,a20=a1+19d=50,解得a1=12,d=2,所以an=2n+10(nN*).(2)由(1)可得Sn=12n+n(n-1)22=n2+11n,令n2+11n=242,解得n=-22(舍)或n=11,故n=11.10.(2019课标文,18,12分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式;(2)若a10,求使得Snan的n的取值范围.解析(1)设an的公差
4、为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(n-9)d2.由a10知dan成立的n的最小值.解析(1)a3=S5a1+2d=5a1+10d4a1+8d=0a1+2d=0a1=-2d,a2a4=S4(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,将代入得-d2=-2dd=0(舍)或d=2,a1=-2d=-4,an=-4+(n-1)2=2n-6.(2)由(1)知an=2n-6,Sn=na1+n(n-1)2d=-4n+n(n-1)=n2-5n.Snann2-5n
5、2n-6n2-7n+60(n-1)(n-6)0,解得n6,n的最小值为7.考点二等差数列的性质考向一等差数列项的性质1.(2022南京金陵中学二模,3)设an是公差d=-2的等差数列,如果a1+a4+a7+a97=50,那么a3+a6+a9+a99=()A.-182B.-78C.-147D.-82答案D2.(2022辽宁渤海大学附中月考二)在等差数列an中,若a2+a3+a4=6,a6=4,则公差d=()A.1B.2C.13D.23答案D3.(2022湖南百校大联考,4)设Sn为等差数列an-2n的前n项和,且a2=7,S7=49,则a7=()A.75B.141C.7D.99答案B4.(202
6、2广东梅州东山中学期中,3)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a7=14,则S9=()A.21B.63C.42D.126答案B5.(多选)(2022湖南永州三模,9)已知等差数列an是递减数列,Sn为其前n项和,且S7=S8,则()A.d0B.a8=0C.S150D.S7、S8均为Sn的最大值答案BD6.(多选)(2022广东深圳实验学校等校联考,10)设等差数列an的前n项和为Sn,若S11S9S10,则下列结论正确的是()A.数列an是递增数列B.a10+a110C.当n20时,Sn0答案BC考向二等差数列前n项和的性质1.(2021广州月考)设等差数列an的前n项和为Sn,若S3
7、=6,S6=3,则S12等于()A.-3B.-12C.-21D.-30答案D2.(2022辽宁名校联考,5)已知数列an是等差数列,Sn为数列an的前n项和,a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=()A.10B.15C.20D.40答案C3.(2022山东学情联考,6)已知等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn,且a4b6=13,则S7T11=()A.733B.13C.1433D.711答案A综合篇考法一等差数列的判定1.(2022河北邯郸一模,7)“中国剩余定理”又称“孙子定理”,可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第十六题的“物不知数”问题,
8、原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?现有一个相关的问题:将1到2 022这2 022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列的项数为()A.132B.133C.134D.135答案C2.(2023届广东普宁华美实验学校月考,17)记Sn为数列an的前n项和,已知Sn=nan-n2+n.(1)证明:an是等差数列;(2)若a1,a4,a6成等比数列,求Sn+9n的最小值.解析(1)证明:Sn=nan-n2+n,当n2时,Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)2+n-1(n2),由-,得an=nan-(n-1
9、)an-1-2(n-1),即(n-1)an-(n-1)an-1=2(n-1),an-an-1=2,n2,an是以2为公差的等差数列.(2)由(1)可得a4=a1+6,a6=a1+10.a1,a4,a6成等比数列,a42=a1a6,即(a1+6)2=a1(a1+10),解得a1=-18,Sn=-18n+n(n-1)22=n2-19n,Sn+9n=n2-19n+9n=n+9n-192n9n-19=-13,当且仅当n=9n,即n=3时取等号,Sn+9n的最小值为-13.3.(2021全国甲理,18,12分)已知数列an的各项均为正数,记Sn为an的前n项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立
10、.数列an是等差数列;数列Sn是等差数列;a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解析选作为条件,证明.证明:设等差数列an的公差为d,因为Sn是等差数列,所以2S2=S1+S3,即22a1+d=a1+3a1+3d,两边平方,得4(2a1+d)=a1+3a1+3d+2a1(3a1+3d),整理得4a1+d=2a1(3a1+3d),两边平方,得16a12+8a1d+d2=4(3a12+3a1d),化简得4a12-4a1d+d2=0,即(2a1-d)2=0,所以d=2a1,则a2=a1+d=3a1.选作为条件,证明.证明:设等差数列an的公差为d.因为a2=3a1,即a1+
11、d=3a1,所以d=2a1.所以等差数列an的前n项和Sn=na1+n(n-1)2d=na1+n(n-1)22a1=n2a1.又a10,所以Sn=na1.则Sn+1-Sn=(n+1)a1-na1=a1,所以数列Sn是公差为a1的等差数列.选作为条件,证明.证明:设等差数列Sn的公差为d,因为S1=a1,S2=a1+a2=a1+3a1=2a1,所以d=S2-S1=2a1-a1=a1,则等差数列Sn的通项公式为Sn=a1+(n-1)a1=na1,所以Sn=n2a1,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,且当n=1时,上式也成立,所以数列an的通项公式为an=
12、(2n-1)a1,则an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,所以数列an是公差为2a1的等差数列.方法总结:证明数列an是等差数列的方法1.定义法:证明an-an-1=d(n2,nN*)或an+1-an=d(nN*);2.等差中项法:证明2an=an-1+an+1(n2,nN*).4.(2022全国甲,理17,文18,12分)记Sn为数列an的前n项和.已知2Snn+n=2an+1.(1)证明:an是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.解析(1)证明:由已知条件2Snn+n=2an+1可得,2Sn=2nan+n-n2,当n2时,由可得2Sn-1=2
13、(n-1)an-1+(n-1)-(n-1)2,由an=Sn-Sn-1及-可得,(2n-2)an-(2n-2)an-1=2n-2,n2,且nN*,即an-an-1=1,因此an是等差数列,公差为1.(2)a4,a7,a9成等比数列,且a4=a1+3,a7=a1+6,a9=a1+8,a72=a4a9,即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-12,等差数列an的通项公式为an=-12+(n-1)1=n-13,Sn=(a1+an)n2=12n2-252n=12n-2522-6258,nN*,当n=12或n=13时,Sn最小,最小值为-78.5.(2022广州模拟,19)已知正项数列an,其前n项和Sn满足an(2Sn-an)=1(nN*).(1)求证:数列Sn2是等差数列,并求出Sn的表达式;(2)数列an中是否存在连续三项ak,ak+1,ak+2,使得1ak,1ak+1,1ak+2构成等差数列?请说明理由.解析(1)依题意,得正项数列an中,a12=1,即a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1,即(Sn-Sn-1)2Sn-(Sn-Sn-1)
