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1、2024届高三年级第二次模拟考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，则AB. C. D. 2. 已知aR，复数为纯虚数，则a（ ）A. 3B. 3C. 2D. 23. 已知函数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，若对于任意实数，都有恒成立，其中，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D. 5. 已知函数（且）是偶函数，则关于x的不等式的解集是（ ）A. B. CD. 以上答案都不对6. 函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ）A
2、. B. C. D. 7. 在中，若为的外心（即三角形外接圆的圆心），且，则（）A. B. C. D. 8. 已知不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（）A. B. 若互为共轭复数，则C. 若，则D. 若复数为纯虚数，则10. 某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅；乙：第一次涨幅，第二次涨幅；丙：
3、第一次涨幅，第二次涨幅.其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（）A. 方案甲和方案乙工资涨得一样多B. 采用方案乙工资涨得比方案丙多C. 采用方案乙工资涨得比方案甲多D. 采用方案丙工资涨得比方案甲多11. 已知函数的定义域为，为的导函数，且，若为偶函数，则下列一定成立的有（）A. B. C. D. 12. 已知函数，下列说法正确的是（）A. 定义域为B. C. 是偶函数D. 在区间上有唯一极大值点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设，是的两根，则的值为_14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为外接圆的圆心，若，且，则的最大值为
4、_15. 设函数在区间内有零点，无极值点，则的取值范围是_16. 在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为_四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.（1）求角C大小；（2）若向量与共线，求的周长.18. 已知是等比数列，是等差数列，且，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.19. 已知将函数图像向左平移个单位长度后得到函数的图像关于原点中心对称.（1）求函数的解析式；（2）若三角形满足是边上的两点，且，求三角形面积的取值范围.20. 已知椭圆，离心率为，直
5、线恒过的一个焦点.（1）求的标准方程；（2）设为坐标原点，四边形的顶点均在上，交于，且，若直线的倾斜角的余弦值为，求直线与轴交点的坐标.21. 已知在点处的切线方程为.（1）求实数a，b的值；（2）当时，证明：.22. 已知函数，（，是自然对数的底数）（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围2024届高三年级第二次模拟考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数的值域求法求出集合、，再利用集合的交运算即可求解.【详解】由，所以，由，所以.故选：C【点睛】本题考查了集合的交运算、函数的值域，属于基础题
6、.2. 已知aR，复数为纯虚数，则a（ ）A. 3B. 3C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解.【详解】为纯虚数，解得a=3故选：A.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题3. 已知函数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别解对应的不等式，再根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为函数，所以由得；由得，所以，所以因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查判
7、断命题的必要不充分条件，涉及对数不等式的解法，属于基础题型.4. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，若对于任意实数，都有恒成立，其中，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用分离常数化简解析式，结合函数解析式可判断函数在上是增函数；结合偶函数性质将不等式化为简，再利用单调性可得，再由的范围，求得的最大值，即可得的范围.【详解】当时，所以在上为单调递增函数，而，又是定义在R上的偶函数，所以由偶函数性质可得，则，因为对任意实数，所以，所以的最大值为，既有，解得，即a的取值范围为，故选：A.【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合运用，由函数单调性解不等式
8、，绝对值函数的最值求法，属于中档题.5. 已知函数（且）是偶函数，则关于x的不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 以上答案都不对【答案】B【解析】【分析】根据是偶函数求得，利用函数的单调性和奇偶性不等式等价于，解不等式即可.【详解】是偶函数，即化简得，（，）,时都能得到，所以在上是增函数（，）为偶函数且在上是增函数，即，即或解得或.即.故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题.6. 函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，可得有解，令，则，对分类讨论，得出时
9、，取得极大值，也即为最大值，进而得出结论.【详解】解：由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，即有解，令，则，则当时，；当时，故时，取得极大值，也即为最大值，当趋近于时，趋近于，所以满足条件故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题7. 在中，若为的外心（即三角形外接圆的圆心），且，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设，分别为，的中点，连接，根据向量数量积运算以及题意，得到，求解，即可得出结果.【详解】设，分别为，的中点，连接，则，因为，所以，同理可得：；因为，所以；因为，所以；联立，
10、解得：，因此.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，以及平面向量基本定理的应用，属于常考题型.8. 已知不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把不等式化为，设，求得的导数，设，利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解.【详解】不等式可化为，因为，所以，设，则，设，其中，则恒成立，则在上单调递增，由，令，得，所以在单调递减，单调递增，所以，对任意正数恒成立，即.故选：B【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研
11、究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（）A. B. 若互为共轭复数，则C. 若，则D. 若复数为纯虚数，则【答案】ABD【解析】【分析】根据复数的乘法运算，复数的模值运算，纯虚数的定义即可判断.【详解】解：由题意得：对于选项A：令则所以，故A正确；对于选项B：令，所以，故B正确；对于选项C：令，根据复数的乘法运算可知：，所以C错误；对于选项
12、D：若复数为纯虚数，则，即，故D正确.故选：ABD10. 某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅；乙：第一次涨幅，第二次涨幅；丙：第一次涨幅，第二次涨幅.其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（）A. 方案甲和方案乙工资涨得一样多B. 采用方案乙工资涨得比方案丙多C. 采用方案乙工资涨得比方案甲多D. 采用方案丙工资涨得比方案甲多【答案】BC【解析】【分析】不防设原工资为1，分别计算三种方案两次涨幅后的价格，利用均值不等式比较即可求解.【详解】方案甲：两次涨幅后的价格为：；方案乙：两次涨幅后的
13、价格为：；方案丙：两次涨幅后的价格为：；因为，由均值不等式，当且仅当时等号成立，故，因为，所以，所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多，故选：.11. 已知函数的定义域为，为的导函数，且，若为偶函数，则下列一定成立的有（）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】由是偶函数得出是奇函数，由已知两条件推出是以4为周期的函数，进而可得为周期为4的偶函数，然后赋值法逐项分析即得【详解】因为是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，故，由，得，即，所以是周期函数，且周期为4，所以，对选项A：由，令得，所以，故A正确；对选项B：由，令得，故，所以B正确；对选项C：由
14、，可得，又，所以，又是奇函数，所以，又，所以，即，所以，所以函数为周期为4的偶函数，所以，故C正确；对选项D：，由题得不出，所以不一定成立，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数的奇偶性及周期性，进而得到函数的性质，然后利用赋值法求解.12. 已知函数，下列说法正确的是（）A. 定义域为B. C. 是偶函数D. 在区间上有唯一极大值点【答案】ACD【解析】【分析】根据函数解析式结合三角函数性质求得定义域，判断A；由于函数的定义域不关于原点对称，故可判断B；根据函数奇偶性的定义可判断C；求出函数的导数，根据其结构特点，构造函数，再次求导，判断导数正负，进而判断函数单调性，进而判断极大值点，即可判断D.【详解】A.的定义域为，解得的定义域为正确B.由于的定义域不关于原点对称，故函数不可能是偶函数，B错误；C.设，则定义域，即是偶函数，正确D.，令，令，由，当时，即当时，单调递增，当时，在单调递减，
