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1、连续带电体的电场的计算例题例1 求均匀带电直线外任一点的场强。已知： 首先经过分析，可知该带电体的电荷呈均匀的线分布，所以在棒上任选一线元，分析该线元上的电荷在场点P 处的场强 d E 大小和方向分布的特征：大小不等，方向各异，所以必须建立合适的坐标系将各dE分解，然后再进行具体的计算。解:选P点在棒上的垂足点为坐标原点，建立、巧、九。如图所示的坐标系。由于电荷呈均匀的线分布，所以在距离O点为l处选一线元血贝U该点处的电荷元为dq八dl，它在场点P处产生的dE场强大小为1九dl，方向如图。将dE沿各坐标轴分解，则有dE=dE cos 9九dlcos 9dE= dE sin 94 冗s r 20
2、九dlsin 9r2 = a 2 + l2 = a 2 + a 2 ctg 29= a 2 csc 2 9 或者 r = a / s i n9所以dE1 入 dl c cos 94 冗sr 20九 a csc 2 9 d9 cos 9a 2 csc 2 9同理dE也 sin 9sin 9d9所以所以 EdEdEr2cos 9d 94 tiea91 0f9 2九sin 9d 94冗s a久 0-(sin 9 一 sin 9 ) i +21(sin 9 一 sin 9 )21(cos 9 一 cos 9 )12(cos 9 一 cos 9 ) j12由于上式中涉及三个相互联系的变量，所以需要统一积
3、分变量，至于统一到哪个变量， 视题目及个人需要而定） 统一积分变量，有d l = a csc 2 9d 9l = actg (冗 一 9 ) = 一 actg 9或者分别写出E的大小和方向如下arctg (E / E )y x例 2. 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x 处的电场。已知： q 、a 、 x。解：由于电荷呈均匀的线分布，所以电荷线密度为九二丄，在带电圆环上任选一2兀a长度为dl的线元，则该点处的电荷元为dq =九dl = dl，它在场点P处产生的场强大小为dE = 矽，方向如图。2兀a4兀s r20由于P点处于带电圆环的中心轴线上，所以可知环上各电荷元在场点处产生的场强dE大小相等
4、，方向关于OP连线对称，所以将dE沿垂直于中心轴和平行于中心轴分解，可得dE = dE cos 9dE | = dE sin 0/经对称性分析可知，所有垂直于轴的分量相互抵消，所以E = EjE = j d E =J d E cos 0其中 cos 0 = x; rr = (a 2 + x2 )122严入dlcE = jcos 0 =4 冗s r200cos 0qx4(x2 + a 2)3/20xq-14庇(x2 + a2) 20高斯定理计算场强的例题例 1. 均匀带电球面的电场。已知 R、 q0解：由于电荷均匀分布在球面上，所以这个 带电体系具有均匀球对称性，因而电场分布 也就具有相应的球对
5、称性，即在任何与该带电 球面同心的球面上各点场强的大小均相等，方向沿半径向外呈辐射状分布。所以选任意的通过场点P的同心球面作高斯面，则通过此高斯面的电通量为=jj E - dS = e jj dsSS当rR时，高斯面内包围的电荷为工 所以由高斯定理可得E 4兀r2 = q/s2 0所以 若写明方向，应为(r R)-qrE =-2 4 冗s r 30例 2. 若是均匀带电球体，对称性分析、高斯面的选取、电通量的计算及球体外的电荷、场 强计算与球面(壳)类似，只有球体内场强计算时要考虑到电荷的体分布。所以若是均匀 带电球体，当rR时，高斯面内包围的电荷为q4r3冗r 3=q43R3冗R 33Y q
6、 = p Vi所以当 rR 时，有所以 E =(r R)4 冗s R 3 0若写明方向，应为-1 qrE =(r 0解：经分析，在无限大带电平面两侧距平板等距 的各点的场强大小相等，方向处处与平板垂直，并 指向两侧，所以做一个如图所示的圆柱面为高斯面, 使两底面与平板平行等距。则通过此高斯面的电通量为=jj E - dS = D E -dS + jj E -dS + jj Ee 1 2SS高斯面内包围的电荷为 Y q =bSi所以由高斯定理可得2 ES = o Ss无限大带电薄板外侧的场强大小为 E =，方向垂直板指向外侧。2s0带负电的无限大带电平面薄板同样适用，只不过方向相反，从两侧指向平
7、板。还可以证明带等量异号电荷的一对无限大平行平面薄板间的场强为E = 外侧为E = 0o例4.均匀带电圆柱面的电场。沿轴线方向单位长度带电量为九解：经分析，由于电荷呈均匀的轴对称性，所以 它的场也呈现均匀的轴对称分布，因此过场点 P 做一个同轴的，半径为r的长度为l (任意长度)的 圆柱面为高斯面，则通过该高斯面的电通量为=ff E - dS = JJ E dS + ff E dS + ff E dSeS上底下底=0 + 0 + 2 兀 rlE = 2 兀 rlE侧面:.当rR时，高斯面内包围的电荷代数和为 工q = 0i所以由高斯定理可得E = 0(r R时，高斯面内包围的电荷为工q八li所
8、以由高斯定理可得 E 2冗rl =九I；80所以九E =-2冗s r0电势的计算例1.求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知：R、q解:方法一 电势叠加法选无穷远处为电势零点，由于电荷呈均匀线分布，所以在带电细圆环上任取一长为dl的线 元，则根据点电荷电势公式可得该处的电荷元dq在场点处的电势为dq九 dldU =-4冗s r4冗s r则由电势叠加原理可得整个带电圆环在P点的电势为U = f dUP2九dlqI4 宙 v R 2 + x 20方法二 定义法由前面的计算可知，带点细圆环在中心轴线上的电场强度分布为qx74(x2 + R 2)320所以选无穷远为电势零点，选过场点的一条电场线为积分路
9、径，则由电势的定义可得U = J EdxPxpxqxdx/4冗s (x2 + R 2) 320q!4 兀EvR 2 + x 20例 2. 求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 R，q （关于均匀带电球面的场强计算前面已有结论，所以采用定义法计算容易）解：均匀带点球面内、外的电场分布可由高斯定理求得，其结果为则由电势的定义可得0选无无穷远为电势零点，选过场点的一条电场线为积分路径，当 r R 时，=J E2r一 乍 q -dr = J -dr4 ns r2 r0q4nE r0例3.两个同心球面，半径分别为R , R ,分别均匀带电，电荷分别为Q , Q，且R R。1 2 1 2 1 2求下列区域
10、内的r R :R r R，离球心O为r处的一点P的场强和1 2 1 2 电势.解: 由于电荷呈均匀球对称分布，所以系统各部分的电场分布也呈球对称分布。因此选同Q14nE r 20心的半径为尸的球面为高斯面，则由高斯定理可得各个区间的场强分布为( R r R2)Q + Q12-4 nE r 20选无穷远处为电势零点，过 P 点的一条电场线为积分路径，则由电势定义可得U = J E dl = J Edr ,因此各个区间的电势分别为E dr + J E dr + J E dr123R2R211(_ ) +RR12Q + Q1 24庇R02了 E dr + J E dr23R2QL4兀s01r1)+R
11、2Q + Q12-4兀s R02(R r o、b和o，（在不能确定他们正负的时候先）假设 1234他们都为正电荷。由于两板相距很近，所以四个表面在空间各点产生的场强可以用均匀无限大带电平面的场强来表示，设他们在空间各点产生的场强分别表示为E、E、E和E ，1234所以空间各点的场强为他们的叠加，有E = E + E +E +E。由于处于静电平衡的导体1234内部场强处处为零，所以在导体A和B内部各任取一点a和，规定向右的方向为场强的 正方向，由前面的结论可有点oooo=0a12-3-4 二2s2s2s2s0000b点oooo1+ 2+3-4 二=02s2s2s2s0000另外，由电荷守恒定律可得o1ao o23o4E EEE432EbEEE4123上述各方程联立，解得电荷分布2S2S场强分布A 板左侧2s SB板右侧0o两板之间
