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1、函数的单调性教学目标（一）教学知识点1增函数、减函数的概念2函数的增减性的判定（二）能力训练要求1使学生理解增函数、减函数的概念2使学生掌握判断某些函数增减性的方法3培养学生利用数学概念进行判断推理的能力4培养学生数形结合，辩证思维的能力（三）德育渗透目标通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯教学重点函数单调性的概念教学难点函数单调性的判断和证明教学方法讲授法教具准备幻灯片五张：第一张：课本P58图27（记作231A）第二张：课本P58图28（记作231B）第三张：课本P58图29（记作231C）第四张：课本P59例1及图210（记作231D）第五张：本课时教
2、案后面的预习内容及预习提纲（记作231E）教学过程复习回顾师前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法今天我们再进一步来研究一下函数的性质（板书课题）讲授新课师在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出yx2和yx3的图象如图（分别打出幻灯片231 A、231 B）我们先着重来观察一下yx2的图象（打出幻灯片231 A），图象在y轴右侧的部分是上升的，也就是说在y轴右侧越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢?生随着x的增加，y的值在增加师怎样用数学语言来表示呢?生设x1、x20，）得y1f（x1），y
3、2f（x2）当x1x2时，f（x1）f（x2）（学生经过预习可能答得很准确，但为什么也许还囫囵吞枣；或许答得不一定完整，或许怎样用数学语言来表示还感到困惑，教师应抓住时机予以启发）师好，同学的回答很好，设x1、x20，），体现了在y轴右侧，按照函数关系式得到了y1f（x1），y2f（x2），即有了两个点（x1，y1）、（x2，y2）而当x1x2时，f（x1）f（x2），则体现了越往右图象上的点越高，即体现了图象是上升的，这时我们说yx2在0，）上是增函数下面大家来看图象在y轴左侧的部分情形是怎样的?生甲图象在y轴的左侧也是上升的（或许生甲是别出心裁）师何以见得?生甲越往左，图象上的点越高师生甲
4、所谈对不对呢?生对（部分同学这样说，还有部分同学不吭气，感到和预习时的情况不一样，但又不清楚究竟该怎样，有无所适从之感）师生甲同学所述是完全有道理的!不过请同学们注意：他观察的视线是从右向左看的，为了与在y轴右侧部分观察的视线方向一致我们对y轴的左侧部分也从左向右看，图象的情形是怎样的呢?生甲从左向右看，图象是下降的，也就是在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低师我们研究任何问题都要遵循一定的程序，都要在一定的条件下，否则将一塌糊涂，搞不出任何名堂（或者在研究y轴右侧部分、研究y轴左侧部分图象的变化趋势时，就直载了当地指出随着x的增加，图象的变化趋势是怎样的，这样给学生指定观察方向，会减少不应有
5、的麻烦）那么同学们考虑一下，在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢?怎样用数学语言表示呢?生在y轴右侧，越往右图象上的点越低，说明随着x的增加，y的值在减小，用数学语言表示是：设x1、x2（，0）得y1f（x1），y2f（x2）当x1x2时，f（x1）f（x2）师好，这时我们说yx2在（，0）上是减函数一般地，设函数f（x）的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数（打出幻灯片231C）如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），
6、那么就说f（x）在这个区间上是减函数如果函数yf（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数yf（x）在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做yf（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的注意：函数的单调性也叫函数的增减性函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a设x1、x2给定区间，且x1x2b计算f（x1）f（x2）至最简b判断上述差的符号d下结论（若差0，则为增函数；若差0，则为减函数）例题分析例1（课本P59例1，打出幻灯片231D，与学生一块看，一起分析作答）师要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图
7、象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明下面举例说明例2证明函数f（x）3x2在R上是增函数证明：设任意x1、x2R，且x1x2则f（x1）f（x2）（3x12）（3x22）3（x1x2）由x1x2得x1x20f（x1）f（x2）0即f（x1）f（x2）f（x）3x2在R上是增函数例3证明函数f（x）在（0，）上是减函数证明：设任意x1、x2（0，）且x1x2则f（x1）f（x2）由x1，x2（0，）得x1x20又x1x2得x2x10f（x1）f（x2）0即f（x1）f（x2）f（x）在（0，）上是减函数注意：通过观察图象、对函数是否具有某种性质作出一种
8、猜想，然后通过推理的办法证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法课堂练习课本P60练习14及P59、P60两个想一想课时小结本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明课后作业（一）课本P64习题2317（二）1预习内容：反函数的概念2预习提纲：（1）反函数的定义是什么？（2）怎样的映射确定的函数才有反函数？（3）求函数y=f（x）的反函数的步骤是怎样的？（4）函数y=f（x）与它的反函数y=f-1（x）两者之间定义域、值域存在什么关系？板书设计课题例题小结定义注意备课资料一
9、、函数单调性的学习函数的单调性是函数的重要性质，它反映了函数定义域内某个区间上函数值的增减变化和图象的升降趋势利用函数的单调性定义可以判断某些函数的单调性及单调区间，可以比较两个数的大小，解方程或不等式求函数的值域或最值等其间的每一种应用关键之处是：合理构造函数，将所求问题转化成研究函数单调性的问题1强调“定义域意识”的培养例1设a0且a1，试求函数yloga（43xx2）的单调区间解:函数yloga（43xx2）的定义域为x1x4令M43xx2（x）2M在（1，）上单调递增，在区间，4上单调递减，当0a1时，函数yloga（43xx2）在1，上单调递减，在，4上单调递增当a1时，函数ylog
10、a（43xx2）在（1，）上单调递增，在，4上单调递减例2已知f（x）的定义域为（0，），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）f（x）f（y），f（2）1，试解不等式f（x）f（x2）3解：由f（2）1及f（xy）f（x）f（y）可得3f（2）3f（2）f（2）f（2）f（4）f（2）f（8）f（x）f（x2）3f（x）f（x2）3f（x2）f（8）f 8（x2）又函数f（x）在定义域（0，）上是增函数即2x评述：（1）对于例1中求函数单调区间时，首先必须考虑函数的定义域，再根据基本函数的单调性与“同为增，异为减”的原则判断复合函数的单调区间（此例可在“对数函数”之后再结合教学）（2）例2是
11、利用函数的单调性解不等式的重要应用，这类问题解决时要特别注意必须首先考虑定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集（3）建议在教学中指导学生树立“定义域优先”的原则，即：在解题时必须时时考虑到2注重“等价转化思想”的运用例1若f（x）是二次函数f（x），f（2x）f（2x）对任意实数x都成立，又知f（3）f（），求f（3）与f（3）的大小?解：由f（2x）f（2x）可得函数f（x）的图象，即抛物线的对称轴是直线x2，又因f（3）f（），可得抛物线开口向上，即x（，2）是单调递减函数，在x（2，）是单调递增函数，则有：f（3）f（1），由f（1）f（3）得：f（3）f（3）评述：上述问题解决的关
12、键是将比较函数值问题转化为比较自变量大小问题，继而结合函数单调性这一性质得出结果例2函数f（x）在（0，）上是减函数，求f（a2a1）与f（）的大小关系?解：f（x）在（0，）上是减函数a2a1（a）20f（a2a1）f（）评述：体会“等价转化”思想的运用，注意解题时的层次分明和思路清晰例3求函数y（1x2）的值域分析：按常规思维此函数的值域常用判别式法去求，即将其整理成关于x的方程结合xR求出值域，但注意到本题中x有范围限制，仅有xR是不可行的，因此这个思路不能应用，那么能否将其转化为用函数单调性可能解决的问题呢?解：任取x1，x2且1x1x22，则有：2x1x24，即63（x1x2）12，
13、1x1x24x2x10，3（x1x2）x1x20，x130，x230则有： y1y20y1y2函数y在x1，2上是减函数即f（2）yf（1）得：y4，评述：本题是函数单调性又一应用，也是“等价转化思想”的重要体现，它提示我们凡与范围、大小比较等有关的问题，不妨考虑用函数单调性来解决3函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决我们现实生活中与之相关的实际问题例题甲、乙两地相距S km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x（kmh）的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小?如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶?分析：根据汽车运输成本y元与行驶速度x kmh之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为：ybax2yS（ax）（其中x（0，）即将此时的问题转化成“函数yS（ax）是否随着x的不断增大而减小?当x取何值时，y取最小值?”下面讨论函数yS（ax）（x（0，），a0，B0）在其定义域内的单调性设x1，x2（0，），且x1x2，则f（x1）f（x2）S（ax1）（ax2）Sa（x1x2）x1，x20，且x1x2x1x
