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1、 浅谈定积分与复积分 摘要: 积分学是函数论中的重要内容,无论是定积分还是复积分,均是研究函数的重要工具.并且在几何、物理和工程技术上都有着广泛的应用.本文主要从积分的定义,性质,存在条件,计算式的比较以及对称性的比较五个方面讨论了定积分与复积分之间的联系与区别.特别对二者计算式及对称性做了系统的分析总结,并在此基础之上对复积分的性质做了进一步的探究.关键词: 定积分; 复积分; 联系; 区别 The definite integral and complex integralAbstract: Integral calculus is important in function theory
2、,no matter definite integral or complex integral,either is the important tool in studying the function ,and it has a wide range of application in geometry,physis and engineering.this article discusses the relation and the difference between the definite integral and complex integral in five aspects
3、,including definition.character and the conditions of existence of the integral .Especially , it analyses and summarizes the formula and symmetry of them , then discusses the character and the conditions of existence of the complex integral deeply.Key words: Definite integral ; Complex integral ; Di
4、fference ; Relationship0引言 积分是高等数学的重点难点之一,积分的种类繁多,求解方法难易悬殊，使用技巧各异,教材中对定积分和复积分做了简单地介绍,尽管如此,我们在面对很多积分时还是无法快速简便地计算.因此,对积分的系统总结及研究是很有必要的. 本文的目的主要是通过研究定积分与复积分的联系与区别,让我们深刻系统的了解复积分与定积分的相关理论,并用这些理论来解决数学与其他学科中的各种实际问题.1 预备知识1.1 连续函数的定义 定义1 设函数在点的某个邻域中有定义,并且成立 则称函数在点处连续,而称是函数的连续点.定义2 函数在区间的每一个点连续,则函数在开区间上连续.1.
5、2 极限四则运算法则 若极限与都存在,则函数当时极限也存在且:.又若则当时极限存在,.1.3 柯西积分定理设函数在平面上的单连通区域内解析,则在内的积分与路径无关,即对内任意两点与,积分之值,不依赖内连接起点与的曲线. 1.4 柯西留数定理 设函数在区域内除有限个孤立点外处解析,为内包含各奇点的一条正确简单的封闭曲线,则:.2 定积分与复积分概念及性质的比较2.1 概念比较定积分的定义设函数在闭区间上连续.闭区间上有-1个点.依次为它们把分成个闭子区间,并令且设为中任意一点,这里令显然,当时,必有,我们作和,在微积分中曾证明的值存在,叫做从到的定积分,记做.分别叫做定积分的上限和下限.复积分的
6、定义设复函数在光滑或逐段光滑的简单曲线上有定义,沿从到的方向上依次取分点:,其中在每个弧段上任取一点,作和式其中,设当如果和式的极限存在,且此极限值不依赖的选择,也不依赖分法,就称沿可积,而称此极限值为到方向上的复积分或简称复积分,记为 . 由定义可以看出,不管是定积分还是复积分在给出积分定义时方法是一样的,都是采用”分割取点近似求和取极限”四步,不同的是,定积分的值只与有关,与积分路径无关,即定积分中由到的积分路径只有一条,且与方向无关.复积分的值不仅与有关,还与积分路径有关,即由与的积分路径存在无数条且有方向. 例1 按定积分定义证明.证明 对于的任意分割T=,任取=,相 应的积分和为,从
7、而取为任意正数,要使就有, 根据定积分的定义有. 例2 计算积分. 解 由于在上连续,所求积分是存在的,将区间分为个相等的小区间, 则,在每个小区间上取左端点作为,即.于是对于, 而对于,由于,故显然,如果积分区间不是,而是，则 例3 令表示连接点到点的任一曲线,试证 . 证明 因为,选,则得,我们又可选, 则得 ,显然在曲线上解析,因此积分存 在,且应与及的极限相等,从而应与的极限相等.令, 所以 . 至此我们了解到,无论是定积分还是复积分均可用定积分对其进行求值计算,然而当被积分函数比较复杂,或者被积函数为复合函数时,利用定义计算过程,难免复杂,我们不禁要问有没有什么简单的方法将被积函数进
8、行化解呢?2.2 基本性质的比较 首先,我们来回忆定积分的性质. 性质1 若在上可积,为常数,则在上也可积,且 . 性质2 若,都在上可积,则在上也可积,且 . 性质3 若,都在上可积,则在上也可积. 性质4 在上可积的充分必要条件是:任取,在与上都可积,此时又有等式. 性质5 设为上的可积函数,若,则.性质6 若在上可积,则在上也可积,且.类似复积分的性质如下: 性质1 . 性质2 . 性质3 当为分段光滑曲线,时, . 性质4 这里表示弧长的微分,即 . 通过观察比较不难看出,两种积分运算性质是基本一致的,唯一不同的是定积分中的性质3,至此,我们自然要问:复积分是否也具有此性质呢?下面结论
9、告诉我们这一性质在复积分中是成立的. 引理 有界函数在曲线上可积的充分必要条件是: 其中为在上的振幅. 探究 若,沿曲线可积,则沿曲线可积. 证明 因为可积函数是有界的,故存在正数使在曲线上成立以分别记及在上的振幅,由于 所以,从而对每一分割都有 又与可积,当时,右端的两个和式都趋于零,而是常数,故左端的和式也趋于零,由引理可知乘积是可积的.以上性质告诉我们,无论是定积分还是复积分均可以进行适当的化简,然后计算,怎么能断定积分是否存在呢?3 积分存在的条件3.1 定积分存在的条件 定理1 若函数在上可积,则在上必有界. 定理2 若为上的连续函数,则在上可积. 定理3 若是区间上只有有限个间断点
10、的有界函数,则在上可积. 定理4 若是上的单调函数,则在上可积.3.2 复积分存在的条件 定理5 若在曲线上可积,则沿有界.定理6 若函数沿曲线连续,则沿可积,且 . 同样,我们不难发现无论是定积分亦或是复积分其积分存在条件基本是一致的.至此,我们已详细了解了积分的基本性质及积分存在条件.然而,如何利用这些性质及存在条件进行具体计算呢,其计算式又有何区别与联系呢?4 计算式的比较4.1 牛顿莱布尼兹公式成立的前提比较 对实一元函数而言,只要在上连续,且存在原函数,积分就存在,就有牛顿莱布尼茨公式成立,即.而对于复变函数来说,连续,积分存在,不一定有牛顿莱布尼茨公式成立.因为复变函数积分实际上是
11、线积分,所以牛顿莱布尼茨公式成立与沿闭曲线的复变函数积分为零联系在一起,于是要求必须在单连通区域内处处解析,才有. 即对于复积分,牛顿莱布尼茨公式成立的条件是: 函数在单连通区域内解析或积分与路径无关.例4 利用牛顿莱布尼茨公式计算: . 分析 先利用分部积分公式求出的任意原函数,然后完成定积分的运算. 解 由分部积分公式可得: 因此 . 例5 计算积分,其中为以为起点,为终点的任一光滑曲线. 解 设,根据曲线积分与路径无关的充分必要条件可知,上式两端的两个积分均与路径无关,因此 . 例6 求解,其中为右半圆周: 起点为,终点为.解 函数的支点为0,不包含在单连通区域内,因此在单连通区域内连续
12、,即:在单连通区域内解析,因此积分与路径无关,因此 .4.2 光滑曲线上的连续复积分可以转化成定积分 对于复变函数来说,沿起点在终点在的曲线的积分一般不能记为的形式,这是由于积分不仅依赖于而且也依赖于曲线的选取,但是若曲线的参数方程能够求出,如:,则可将复积分的计算化为实二元函数的线积分,并结合牛顿莱布尼茨公式来求之.即 . 例7 计算积分其中积分路径（如图1）为:(1)连接由点到点的直线段.(2)连接由点点的直线段,以及连接由点到的直线段所构成的折线; 解 连接及两点的线段的参数方程为: (图1)(1) 连接0与1+i的直线段的参数方程为: ,因此 . (2)连接0到1的直线段的参数方程为:
13、 连接点1与1+i的直线段的参数方程为:即: , 因此 . 由此例可以看出,积分路径不同积分的结果也不同. 例8 证明 的参数方程为故 当=1时, ,当为整数且时,.4.3 换元积分法在复积分中的应用 换元法 设在平面上区域内解析,，若是解析函数,则换元的公式为: (4-1) 其中. 例9 求积分的值. 解 由于在平面上解析,令,则由换元公式(4-1): . 例10 求积分的值,其中为到的直线段.解 由于在圆周内处处解析,因此在积分曲线上解析,令,则,由换元公式(4-1): = .4.4 分部积分法在复积分中的应用 分部积分法 设与在单连通区域内解析,为内任意两点,则: (4-2) 例11 求积分的值,沿圆周在第一象限的部分. 解 由于在区域内解析,故利用分部积分公式(4-2): . 例
