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1、第七章 实数的完备性目的与要求：使学生掌握反映实数完备性的六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；明确六个基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上的连续函数性质和一些有关命题了解数列上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系. 重点与难点：重点是实数完备性基本定理的证明，难点是实数完备性基本定理的应用.第一节 关于实数集完备性的基本定理一 区间套定理与柯西收敛准则1 区间套定义1 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件（1）对, 有, 即, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中；（2） . 即当时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .区间
2、套还可表达为: ， .我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中递增, 递减.例如和都是区间套. 但、和都不是.2 区间套定理定理7.1(区间套定理) 设是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点, 使对有. 简言之, 区间套必有唯一公共点.证明 （用单调有界定理证明区间套定理） 由假设（1）知，序列单调上升，有上界；序列单调下降，有下界.因而有 ，. .再由假设（2）知 ，记. 从而有 .若还有满足，令，得.故是一切的唯一公共点.证毕.注： 这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明：（1）要求是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的，则定理不一定成立.如 .显然有 ，
3、 但 . 如果开区间套是严格包含：，这时定理的结论还是成立的.（2） 若，但，此时仍有，但，于是对任意的，都有.全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集，则称该全序集是完备的，该定理刻划实数集是完备的.该定理也给出通过逐步缩小搜索范围，找出所求点的一种方法.推论 设为一区间套，则当时，恒有用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论3 数列的柯西收敛准则的证明数列的柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：，当时,有（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）证明 必要性 设 由数列极限定义，当时有，因而充分性按假设，使得对一切有，即在区间内含有中除有限项外
4、的所有项据此，令，则，在区间内含有中除有限项外的所有项记这个区间为再令，则，在区间内含有中除有限项外的所有项记，它也含有中除有限项外的所有项，且满足及继续依次令，照以上方法得一闭区间列，其中每一个区间都含有中除有限项外的所有项，且满足，即是区间套由区间套定理，存在唯一的一个数（）现在证明数就是数列的极限事实上，由区间套定理的推论，当时，恒有因此在内含有中除有限项外的所有项，这就证得二 聚点定理与有限覆盖定理1 聚点定义2 设是无穷点集. 若在点 (未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的一个聚点.数集有唯一聚点, 但； 开区间的全体聚点之集是闭区间； 设是中全体有理数所成之集, 易见
5、的聚点集是闭区间.2 聚点概念的另两个等价定义定义 对于点集，若点的任何邻域内都含有中异于的点，即，则称点为的一个聚点.定义若存在各项互异的收敛数列 ，则其极限称为的一个聚点. 3 以上三个定义互相等价的证明：证：定义2定义显然成立定义定义由定义，取，；再取则，且显然；一般取则，且显然与互异；无限地重复以上步骤，得到中各项互异的数列，且由，易见定义定义2 ，当时，必有，且因各项互不相同，故内含有中无限多个点证毕4 聚点定理定理 7.2 (魏尔斯特拉斯聚点定理 Weierstrass ) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）证
6、 因为为有界无限点集,故存在,使得,记现将等分为两个子区间因为为有界无限点集，故两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点，记此区间为，则，且再将等分为两个子区间则两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点，记此区间为，则，且将此等分区间的手续无限地进行下去，得到一个闭区间列，它满足，即是区间套，且每一个闭区间中都含有中无穷多个点由区间套定理，存在唯一的一个数（）于是由区间套定理的推论，当时，恒有从而内含有中无穷多个点，按定义2，为的一个聚点.5 致密性定理.推论：任一有界数列必有收敛子列.证 设为有界数列若中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的若中不含有无限多个相
7、等的项，则在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少有一个聚点，记为于是按定义,存在的一个收敛的子列以为极限.作为致密性定理的应用,我们用它重证数列的柯西收敛准则的充分性证明 充分性由已知条件：，当时,有欲证收敛 首先证有界 取，则，有特别地，时 设 ，则，再由致密性定理知，有收敛子列，设.对任给，存在,当时,同时有，和 因而当取 时,得到 故 .6 海涅博雷尔(HeineBorel) 有限覆盖定理:1.定义(覆盖 ) 设为数轴上的点集 , 为开区间的集合（即的每一个元素都是形如的开区间）. 若中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称为的一个开覆盖,或称覆盖 若中开区间的个数是
8、无限（有限）的，则称为的一个无限开覆盖（有限开覆盖）例 覆盖了区间, 但不能覆盖；覆盖 , 但不能覆盖.2 海涅博雷尔HeineBorel 有限复盖定理:定理7.3 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖证明 （用区间套定理证明有限覆盖定理）用反证法设为闭区间的一个无限开覆盖假设定理的结论不成立：即不能用中有限个开区间来覆盖对采用逐次二等分法构造区间套，的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半 由区间套定理， 因为,所以 使 记由推论，当足够大时， 有这表示用中一个开区间就能覆盖，与其选择法则
9、相违背所以必能用中有限个开区间来覆盖 说明 当改为时，或者不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立例如：1)：是开区间的一个无限开覆盖，但不能由此产生的有限覆盖2) ：是的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生的有限覆盖三 实数完备性基本定理的等价性 1 实数完备性基本定理的等价性至此,我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即定理1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与它等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6定理2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛定理3 (区间套定理）设为一区间套
10、：1）2）则存在唯一一点定理4 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖定理5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）定理6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：，只要 恒有（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）这些定理构成极限理论的基础我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具2 实数完备性基本定理
11、等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.即循环论证，当然也可以用其他的方法进行，下面我们按循环论证来进行实数完备性基本定理等价性的证明： 定理1（确界原理）定理2 (单调有界定理) 定理3 (区间套定理）定理4 (有限覆盖定理) 定理5 (聚点定理) 定理6 (柯西准则)定理1（确界原理）其中 定理1（确界原理）定理2 (单调有界定理)，定理2 (单调有界定理) 定理3 (区间套定理）与定理3 (区间套定理）定理4 (有限覆盖定理)分别见定理2.9, 7.1与7.3；定理4 (有限覆盖定理) 定理5 (聚点定理)和定理5 (聚点定理) 定理6 (柯西准则)定理1（确界原理）作为练习自证；而定
12、理6 (柯西准则)定理1（确界原理）见下例.例用“数列柯西收敛准则” 证明“确界原理” ：即 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 .由实数的阿基米德性,对任何正数,存在整数,使得为的上界,而不是的上界,即存在,使得.分别取,则对每一个正整数,存在相应的,使得为的上界,而不是的上界,故存在,使得.又对正整数，是的上界，故有.再由得；同理有.从而得.于是,对任给的,存在,使得当时有.由柯西收敛准则,知数列收敛.记. 下面证明就是的上确界.首先,对任何和正整数有,由得,即是的上界.其次, 对任何,由及,对充分大的同时有,.
13、又因不是的上界, 故存在,使得.再结合,得 .这说明为的上确界.同理可证：非空有下界数集必有下确界.作业 P168 1，2，3，4，5，6，7.第二节 闭区间上连续函数性质的证明在本节中，将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章第二节中给出的闭区间上连续函数的基本性质一 有界性定理 若函数在闭区间上连续，则在上有界证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 参阅3P106107 证法 二 ( 用致密性定理). 反证法.证明： 如若不然，在上无界，使得，对于序列，它有上下界，致密性定理告诉我们使得，由在连续，及有 ，矛盾.证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 证明：（应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性（定理4.2）对每一点都存在邻域及正数使,考虑开区间集 显然是的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在的一个有限点集 覆盖了,且存在正整数使对一切有 ，令则对，必属于某，即证得在上有上界二 最大、最小值定理 若函数在闭区间上连续, 则在上取得最大值和最小值. 证 ( 用确界原理 ) ( 只证取得最大值 ) 令，, 如果达不到，则恒有.考虑函数，则在上连续，因而有界，设是的一个上界，则 ， 从而，这与是上确界矛盾，因此，使得.类似地可以证明达到下确界.三 介值性定理设在闭区间上连续,且若为介于与之间的任何实数或
