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1、在自主探究中渗透数学的极限思想人教版六年级上册圆的面积教学片段及反思【教学背景】圆的面积是六年级上册第四单元的内容，本单元是在学生掌握了直线图形的周长和面积，并且对圆已有初步认识的基础上进行学习的。从认识圆入手，到圆的周长和面积，与直线图形的学习顺序是一致的。但是，学习圆是从学习方形到学习曲线图形，无论是内容本身，还是研究问题的方法都有所变化。我设计的这节课，想要达到的教学目标就是让学生初步认识研究曲线图形的基本方法“化曲为直”、“化圆为方”，同时也感受了曲线图形与直线图形的内在联系，体味极限思想。【课堂写真】片断一：师点击大屏幕，出现画圆过程。师：图上画了一个什么图形？生：圆。师：圆的周长怎
2、样求？生：C=d C=2r （课件出示公式）师：在我们没有学习周长公式之前是用什么方法得到圆的周长的呢？生1：在圆片上做个记号，从记号位置开始在直尺上滚动一周回到记号位置。（课件演示）生2：用绳子绕圆一周后拉直测量绳子的长度。（课件演示） 师：不论是用绳子绕圆一周后拉直测量还是在直尺上滚动一周直接测量出圆的周长都是把曲线变成直线，这样的方法我们把它叫做化曲为直。（板书）2、师：我们继续研究圆的有关知识圆的面积。（板书）（反思：用这两个方法，提醒学生在过去有关圆的学习中，我们就已经使用了化曲为直的方法来解决特殊的曲线图形，为后面化圆为方的面积研究打下了铺垫。）片段二：1、 师：不妨我们先来回顾以
3、前所学过的平面图形的面积，（课件显示）还记得这些图形的面积怎样求吗？生：正方形的面积等于边长乘边长，长方形的面积等于长乘宽，平行四边形的面积等于底乘高，三角形的面积等于底乘高除以二，梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以二。师：那面积公式的推导过程还记得吗？生1：叙述平行四边形的面积公式推导过程（课件显示）。生2：叙述三角形的面积公式推导过程（课件显示）。生3：叙述梯形的面积公式推导过程（课件显示）。师：说的真好，看来大家对旧知识掌握的很牢固，我们都是把这些图形转化为熟悉的图形进行推导的。2、 师：圆和这些图形一样吗？生齐答：不一样。师：有什么区别？生：上面的都是由线段围成的方形，而圆是由曲线围
4、成的圆形，师：能想办法把圆转化为方形吗？没有想到？不着急，让我们一起看看书上给出的方法吧！翻开书67页！生翻书看书。师：除了书上这样的拼法还能拼成其它的图形吗？生1：三角形。生2：梯形。师：让我们动手试一试吧！先来看看活动要求（课件显示）请一位同学给大家读一读（指名读）要求大家看清楚了吗？请大家开始活动吧！生分组活动（留给学生充足的时间动手操作，教师参与讨论与指导）3、 师：哪个小组来给大家汇报汇报？生1：我们小组是把圆分成16等份后拼成了一个近似平行四边形，形状变了，面积没有变，拼成的近似平行四边形的底是圆的周长的一半，高是圆的半径，因为平行四边形的面积等于底乘高，也就是圆周长的一半乘半径，
5、化简后就是S=r2生2：我们小组是把圆分成16等份后拼成了一个近似三角形，形状变了，面积没有变，拼成的近似三角形的底是圆周长的，高是4条半径，因此三角形的面积等于底乘高除以2，也就是圆周长的乘4条半径，化简后就是S=r2生3：我们小组是把圆分成16等份后拼成了一个近似梯形，形状变了，面积没有变，拼成的近似梯形的上底是圆周长的，下底是圆周长的，高是2条半径，根据梯形的面积公式推导出圆的面积就是S=r25、师：同学们展示出了这么多的方法，真了不起！有的小组只拼出了一种，那就让我们一起看看拼摆的过程吧！（课件显示拼成近似平行四边形的过程）师：我们是将16等份的圆片拼摆成近似平行四边形，如果将圆片32
6、等份后再来拼摆，有什么区别吗？生：比较接近长方形。师：如果将圆片平均分成64份、128份再来拼摆，最终可以拼成一个什么图形？生：长方形。师：看来平均分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越来越接近长方形。师：我们再来看看拼成近似三角形和近似梯形的过程（课件依次显示拼成近似三角形和近似梯形的过程） 师：这些方法我们把它叫做化圆为方。（板书）（反思：新课标重视学生学习过程中的体验，所谓体验性学习，就是强调学生的参与性和实践性，让学生参与知识探索、发现与形成的全过程，并通过体验与感受，建构属于自己的认知体系。可见，体验性学习是真正属于学生自己的数学学习活动，它旨在让学生通过手脑并用的探究活动，
7、学习科学知识和方法，增进对科学的理解，体验研究的乐趣。因此，在研究圆的面积公式的环节中，我大胆放手让学生充分发挥想象力，不仅用长方形推导圆的面积公式，还鼓励学生用梯形、三角形等多种方法推导圆的面积。拓宽了学生的思路，并有意识的在每种方法的推导过程中渗透了极限思想。）片段三：师：如果把圆分成16等份，只取其中的一份能推出圆的面积吗？（课件显示） 生：先求出一个近似三角形的面积，然后乘16就是这个圆的面积。 师：这个圆的面积就是这16个近似小三角形的面积之和。 师：如果把圆分成很多很多份，用n来表示，也只取其中的一份能推出来吗？ 师：这个近似小三角形的底用a1表示，高用r表示，面积怎样表示？ 生：
8、S1= a1r 师：第二个近似小三角形的底用a2表示，高用r表示，面积怎样表示？ 生：S2= a2r 师：第n个近似小三角形的底用an表示，高用r表示，面积怎样表示？ 生：Sn= anr 师：要求这个圆的面积怎么办呢? 生：就是把这所有的近似三角形全部加起来， a1r+ a2r+ anr= r（a1+a2+an）= rC=r2（这个过程对学生有一定的难度，老师可以做一定的牵引）6、师：这种方法就是古代数学家刘徽的割圆术！（课件介绍刘徽与割圆术） （反思：日本著名数学教育家米山国藏指出：“学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘
9、掉了。然而不管他们从事什么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。”本着这样的一种教学理念，我特别设计了这个环节为学生渗透基本的极限数学思想，我希望学生在学完这个知识后的若干年不仅仅能记得圆的计算公式，还要能够记得有一种数学思想叫做“极限”。）【分析研究】设计这节课的时候，我有3点思考：1、在本节课之前，学生对圆的特征，多边形面积的计算已基本掌握，但对于像圆这样的曲线图形的面积，学生是第一次接触，如何把圆转化成直线图形具有一定的难度。2、学生对探究学习并不陌生，但在探究学习过程中，往往是盲目探究，因此，组织学习素材，让学生形成合理推导，进行有方向、有目的的探
10、究也是教学中关注的问题。3、在探究活动中，使学生亲历“做数学”的过程，认识图形，积累数学活动经验是数学的基本内容之一，因此，让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算公式是本节课的重点；由于圆与以前学习的直线图形性质有很大不同，对“曲线图形”转化为直线图形学生是第一次接触，对学生已有知识和经验都是一种挑战，因此，“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受是本节课的难点。为了能在课堂中让学生切实领悟如何化曲为直，化圆为方的方法和极限思想的运用，我设计了这样几个教学环节：环节一：在复习阶段，让学生回想初次学习圆的周长时，都采用了哪些方法？学生回忆到了有用绳子绕圆一周，将绳子拉直以后在量绳子
11、的长度，或者在圆周上某一点做个记号，让圆在直尺上滚动一周，圆滚动一周的痕迹也就是这个圆的周长。用这两个方法，提醒学生在过去有关圆的学习中，我们就已经使用了化曲为直的方法来解决特殊的曲线图形，为后面化圆为方的面积研究打下了铺垫。环节二：在让学生探究圆的面积公式时，学生是会感觉到困惑的，就算利用过去学习多边形面积的经验来帮助自己还是会让学生觉得有些无所适从。但是这时在头脑中已经形成了要将圆形转换为一个已知图形的设想。于是，我安排了学生从书本上寻找方法。并提出了更高的要求，“除了书上的拼法，还能拼成别得图形吗？”拓展了学生的思维。环节三：汇报交流：（把等份好的圆如何拼成近似长方形）交流时学生围绕着如
12、何拼？像什么？为什么说像长方形而不说是长方形？怎样做会更像长方形？把圆等分的分数再多一些会如何？让学生通过自己操作，观看电脑的演示和推理，体会“化圆为方”感受极限的思想，促进了学生思维能力的发展环节四：运用各种拼补的方法让学生已经掌握了圆的面积的公式之后，我又提出了更高的要求：能不能通过分出的一个小近似三角形推导出整个圆的面积呢？通过一个有限次数分割的圆形，学生可以理解到圆的面积就是近似等于所有小三角形的面积之和。那么，如果把这个圆形无限次的分割，分到不可再分的时候，每个小三角形的面积也就无限趋近与扇形的面积，以至于完全相等，这时，这些小三角形的面积之和也就完全等于圆形的面积。这一过程，实际就是魏晋时期数学家刘徽论证九章算术中圆面积公式时所用到的无穷小方法和极限思想。纵观整节课，学生一直置身于主动探索之中，在“如何将圆转换为方形”这一主线的引领下，学生主动探究、推导结论，边操作，边体会，前后融为一体，又互为验证。整个过程不仅是一个知识再创造的过程，更是一个科学发现的过程。更为重要的是，通过这样的一节圆的面积的课，让学生体会到了数学研究中的重要思想：极限思想的魅力所在。
