《计算力学结课论文平面框架结构有限元分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算力学结课论文平面框架结构有限元分析（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面框架结构有限元分析1 引言1.1 有限元法的重要性有限元方法是求解各种复杂数学物理问题的重要方法，是处理各种复杂工程问题的重要分析手 段，也是进行科学研究的重要工具。利用有限元分析可以获取几乎任意复杂工程结构的各种机械性 能信息，还可以直接就工程设计进行各种评判，可以就各种工程事故进行技术分析。1.2 有限元法的发展过程有限元的思想可以追溯到20世纪40年代。1941年A.Hrennikoff首次提出用离散元素法求救弹 性力学问题，当时仅限于用杆系结构来构造离散模型，但能很好地说明有限元的思想。如果原结构 是杆系，这种方法的解是精确的，发展到现在就是大家熟知的矩阵分析法。究其实质这还不能说
2、就 是有限元的思想，但结合以后的有限元理论，统称为广义有限单元法。1943年R.Courant在求解扭 转问题时为了表征翘曲函数而将截面分成若干三角形区域，在各三角形区域设定一个线性的翘曲函 数，这实质上就是有限单元法的基本思想。20 世纪 50 年代因航空工业的需要，美国波音公司的专家首次采用三节点三角形单元，将矩阵 位移法用到平面问题上。 1960 年美国的 R.W.Clough 教授在一篇题为“平面应力分析的有限单元法” 的论文中首先使用“有限单元法”一词，此后这一名称得到广泛承认。20 世纪 60 年代有限元法发展迅速，除力学界外，许多数学家也参与了这一工作，奠定了有限 元法的理论基础
3、，搞清了有限元法与变分法之间的关系，发展了各种各样单元模式，扩大了有限元 法的应用范围。20 世纪 70 年代以来，有限元法进一步得到蓬勃发展，其应用范围扩展到所有工程领域，成为 连续介质问题数值解法中最活跃的分支。由变分法有限元扩展到加权残数法与能量平衡法有限元， 由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定性问题、动力问题和 波动问题，由线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和 复合材料等，由结构分析扩展到结构优化乃至于设计自动化，从固体力学扩展到流体力学、传热学 电磁学等领域。它使许多复杂的工程分析问题迎刃而解。1.3 有限元法的
4、基本思想有限元法的基本思想是将物体（即连续的求解域）离散成有限个且按一定方式相互联结在一起 的单元的组合，来模拟或逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自 由度问题求解的一种数值分析方法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元分析，最终得到 对整个物体的分析。网格划分中每一个小的块体称为单元。确定单元形状、单元之间相互联结的点 称为节点。单元上节点处的结构内力为节点力，外力（有集中力、分布力等）为节点载荷。2 理论分析如图 1 所示框架结构，其顶端受均布力作用，用有限元方法分析该结构的位移。结构中各个截 面的参数都为：E=3.0x1011Pa,I=6.5x10-7 m
5、4，A=6.8x10-4m2。3000N斗 1G7N-Zmel总IT1二一4图 1 框架结构受一均布力作用 对该问题进行有限元分析的过程如下： （1）结构的离散化与编号 将该结构离散为三个单元，节点位移及单元编号如图2 所示。01If-小斗日斗/ul图 2 节点位移及单位编号节点位移矩阵为q二U1V11 U2F 二F F M节点外载矩阵为x1 y191R = 0 0 0 0 0支反力矩阵为v292u3v393u4v49 T40Fy2M920000000Rx3Ry3R93Rx4Ry4R94T其中：Rx3、Rx4、R03为节点3的沿x方向支反力、沿y方向支反力和支反力矩，Rx4、Ry4、R04为节
6、 点4的沿x方向支反力、沿y方向支反力和支反力矩，均为代求值。总的节点载荷矩阵为P 二 F + R=3000- 3000- 7200-3000 720 Rx3R Ry 393R Rx4y 4R T942）各个单元的描述一般而一个框架单元至少需要两个参照系，即一个整体坐标系和一个局部坐标系。整体坐标系（X,Y）作用如下：（1）描述每个连接点（节点）的位置，用角度表示每个单元的方向；（2） 按照整体坐标系下各单元的自由度分量施加约束和载荷；（3）表示问题的解。此外，还要用局部坐 标系描述单元的轴向效应。局部自由度（指位移和转角）通过转换矩阵与整体自由度联系起来。单元 1 的局部坐标与整体坐标是一致
7、的，则可以得到单元1 的刚度矩阵为uv9uv9111222141.700 -141.70000.7840.5640- 0.7840.56400.5640.5420- 0.5640.271-141.700141.7000 -0.784- 0.56400 .784- 0.56400.5640.2710- 0.5640.542K=106 xu1v191u2v292212.50002.6451.270K(2) = 106 X01.2700.8125-212.5000 -2.645- 1.27001.2700.4062单元 2 和单元 3 的情况相同，只是节点编号不同而已，0- 2.6451.2700-
8、 1.2700.4062212.5000 .7842.645- 1.2700- 1.2700.8125其局部坐标系下的单元刚度矩阵为-212.5001这两个单元轴线的方向余弦为cs（x,x）二，cos（x,y）二1，有坐标转换矩阵为_ 010000 1-100000001000000010000 -100000001则可以计算出整体坐标下的单元刚度矩阵（单元2和单元3）-2.6450- 1.27- 2.645000212.500- 212.50K (2) = Tt K T = 106 x-1.2700.81251.2700.4062-2.64501.272.64501.270- 212.500
9、212.50-1.2700.40621.2700.8125注意这两个单元所对应的节点位移矩阵分别为对于单元 2：u3v 9 u v 9 T33111对于单元 3：u4v 9 u v 9 T442223）建立整体刚度矩阵方程组装整体刚度矩阵并形成整体刚度方程Kq = P,其中刚度矩阵的装配关系为K = K+ K+ K（4）边界条件的处理及刚度方程的求解该问题的位移边界条件为U3 = V3 =03=4= V4=04=O，处理该边界条件后的刚度方程为144.301.270-141.700 u1v19-3000 0213.30.5640- 0.7840.564-3000106x1.2700.5641.
10、35450- 0.5640.271-720i0-141.700144.301.270u20 0.784- 0.5640213.30.564v292-300000.5640.2711.270- 0.5641.3545=_ 720_求解后的结果为u = 0.92mm1v = -0.0104mm19 =-O OO139rad1u = 0.901mm2v = -0.018mm29 =3.88x10-5 rad23 ANSYS分析ANSYS 软件提供了结构静力分析、结构动力学分析、结构非线性分析、动力学分析、热 分析、电磁场分析、流体动力学分析、声场分析、压电分析等9 种分析类型。本例为平面框架图 6
11、各节点位移图PRINT U NODAL SOLUTION PER NODE*和：pQST1jodAL DEGREE OF FREEDOM LISTING yLOAD STEP= 1 SU0STEP= 1TIME= 1.0000 LOAD CASE= 0THE FOLLOWING DEGREE OF FREEDOM RESULTS ARE IN THE GLOBAL COORDINATE SYSTEMNODE UX UY UZ USUM1 0J91767E-03-0,103&0E-04 0,00000.91772E-032 0.50119E-03-0.1787BE-04 0.00000.901.
12、37E-0330,00000.00000.00000.0000斗0.00000,00000.00000.0000MAXIMUM ABSOLUTE VALUESMODE1201VALUE 0.&1767E-03-0.1787SE-0斗 0.00000.91772E-03图 7 各节点位移数据PRINT SUMMED NODAL LOADS*幷 p0ST1 SUMMED TOTAL NODAL LOADS LISTINGLOAD STEP= 1 SUBSTEP= 1TIME= 1.0000 LOAD CASE= 0THE FOLLOWING XrYrZ SOLUTIONS ARE KJ THE G
13、LOBAL COORDINATE SYSTEMMZ-601.36-112S3NODE FX FY1 -3000.03 &5.72-2201.44 23343-3799.1TOTAL VALUESVALUE -0.28&49E-10 -6000.5-1729.7图 8 各节点支反力数据4 结论对比理论计算和用 ANSYS 分析的结果，两种方法得出的位移结果一致。可以清楚的看到此类 框架结构受力最大的点是节点1，位移最大的是节点1 和节点2，因此在做此类框架时应在节点1上 加强强度。同时可以看出，利用 ANSYS 软件可以准确快捷地对该类构件进行有限元分析，求解该 类构件由外载荷引起的位移、应力、力等问题。
