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1、2014-2015学年度高三第一学期期中考联考数学试题(理科)一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知, ,则下列结论中正确的是A. B. C. D.2若直线与直线平行,则 A. B. C. 或 D. 开始S1,T1,n2T2n TS?是否nn1Sn2结束(第6题)输出n3已知是定义在上的奇函数,当时(为常数),则的值为A. B. 4 C. D. 64曲线与曲线的A.长轴长与实轴长相等 B.短轴长与虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等5下列命题中,错误的是A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交B.平行
2、于同一平面的两个不同平面平行C.如果平面不垂直平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面D.若直线不平行平面,则在平面内不存在与平行的直线6、某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为 A5B6C7D87“”是“复数与的积是纯虚数”的( )条件.A充分必要 B充分不必要 C必要不充分 D既不充分也不必要8定义一种新运算:,已知函数,若函数恰有两个零点,则的取值范围为. A. B. C. D. 二.填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分(一)必做题(913题)9.已知一个三棱锥的三视图如右下图所示,其中俯视图是顶角为的等腰三角形,则该三棱锥的体积为_.10已知数列满足,且
3、,则 .11在ABC中,内角A,B,C的对边分别是,b,c.若, ,则角12. _.13.已知正实数满足,且恒成立,则的最大值是_.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)第15题14(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,曲线和相交于点,则 .15(几何证明选讲选做题) 如图所示,已知AB,BC是O的两条弦,AOBC,AB2,BC,则O的半径等于_三解答题:本大题共6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(本小题满分12分)已知函数(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;(2)若,求的值。17. (本小题满分12分)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“再来
4、一瓶”或“谢谢惠顾”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。(1)求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率;(2)求中奖人数的分布列及数学期望E.18. (本小题满分14分)如图,正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1,点M在BC上,AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.(1)求证:点M为BC的中点;(2)求点B到平面AMC1的距离;(3)求二面角MAC1C的大小.19(本小题满分14分)已知椭圆:()的离心率为,右焦点为.(1)求椭圆的方程;(2)设点为坐标原点,过点作直线与椭圆E交于两点,若,求直线的方程20(本小题满分14分
5、)设数列的前项和为,已知(nN*).(1)求的值,并证明数列是等差数列; (2)设,数列的前项和为,若存在整数,使对任意nN*且n 2,都有成立,求的最大值;21(本小题满分14分)已知函数f(x)=x2+2lnx与g(x)=x+有相同极值点(1) 求实数a的值;(2) 若x1 ,x2是区间2,3 内任意两个不同的数,求证:(3) 若对于任意x1 ,x2,3 ,不等式1恒成立,求实数k的取值范围揭阳一中20142015学年度年高三上学期期中考试数学试题(理科)参考答案及评分说明所以函数在区间上的最大值为2,最小值为.6分()解:由(1)可知又因为,所以7分由,得8分从而9分所以12分17解:解
6、:(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么w_w w. k#s5_u.c o*mP(A)=P(B)=P(C)=2分P()=P(A)P()P()=5分答:甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率为6分(2)的可能值为0,1,2,37分P(=k)=(k=0,1,2,3)9分所以中奖人数的分布列为w_w w. k#s5_u.c0123P 10分E=0+1+2+3=12分18(1)证明:在正三棱柱ABCA1B1C1中,有CC1底面ABC,面ABC1分又AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形,AMMC1且AM=MC1,面2分面,3分底面ABC是边长为1的正三角形,点M为BC中点.4分为点B到平面AM
7、C1的距离.6分 AM=C1M=在RtCC1M中,可得7分BHMC1CM., 9分解法(二)设点B到平面AMC1的距离为h.则5分由(I)知 AMC1M,AMCB,AM平面C1CBB16分AB=1,BM=7分8分 得 9分(3)(解法一) 过M作于H,作于G,连结GH.,又又因为,且面MHG,故为二面角的平面角11分由(1)知在等腰直角三角形中,13分因为二面角为锐二面角,故所以二面角的大小为.14分(解法二)过M作交于.以M为坐标原点,分别为轴,轴,轴方向,建立空间直角坐标系.10分设面的一个法向量为由得,取,则11分同理可求得面的一个法向量为12分设二面角的大小为,由图知为锐角故13分故二
8、面角的大小为14分19解:(1)依题意可得2分解得椭圆E的标准方程为4分(2)设,当垂直于轴时,的方程为,不符题意5分当不垂直于轴时,设的方程为6分由得:,8分所以,10分于是: 因为,所以,所以,所以,13分所以,直线的方程为:14分 20. 解(1)由可得1分由,得(n2)2分两式相减,得,即(n2) ,于是4分所以数列是以首项为2,公差为1的等差数列.5分(2)所以,故.6分因为,8分则. 令,则10分所以 . 即,所以数列为递增数列. 12分 所以当n 2时,的最小值为. 据题意,即.又为整数,故的最大值为18. 14分 21解:(1)由1分知当时;当时;在上为增函数,在上为减函数为函数的极大值点2分又函数f(x)=x2+2lnx与g(x)=x+有相同极值点, 是函数的极值点, ,解得3分经检验,当时,函数取到极小值,符合题意4分(2)由(1)知函数在2,3 上单调递减,不妨设,令6分则,因为在上单调递减,且当时,所以函数在2,3 上单调递增,所以问题得证。8分(3), , 即 ,9分由(1)知, .当时,;当时, 故在为减函数,在上为增函数,而 , ,10分当,即时,对于,不等式恒成立, ,又 ,12分当,即时,对于,不等式 ,又,综上,所求的实数的取值范围为14分