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1、页眉内容数列求和的七种基本方法甘志国部分内容( 已发表于数理天地 ( 高中 ) ， 2014(11) ：14-15)数列求和是数列问题中的基本题型， 但具有复杂多变、综合性强、 解法灵活等特点，本文将通过例题 (这些例题涵盖了 2014 年高考卷中的数列求和大题 )简单介绍数列求和的七种基本方法 .1 运用公式法很多数列的前n 项和 Sn 的求法，就是套等差、等比数列Sn 的公式，因此以下常用公式应当熟记：还要记住一些正整数的幂和公式：例 1已知数列 an 的前 n 项和 Sn32nn 2 ，求数列 an 的前 n 项和 Tn .解由 Sn32nn 2,可得 an332n , an0n16 ，
2、所以：(1)当 n16 时 ,Tn = Sn32nn 2.(2)当 n17 时，所以Tn32nn2(n1,2,L,16)n232n512( n17, 且 n N )例 2求 Sn1 n 2 (n 1) 3 (n 2)n 1.解设 akk(n1 k )k( n1)k 2，本题即求数列 ak 的前 n 项和 .高考题 1(2014年高考浙江卷文科第19 题 (部分 )求数列2n 1 的前 n 项和 Sn .答案： Snn2 .高考题 2(2014 年高考四川卷理科第19 题 (部分 )求数列2n4 的前 n 项和 Sn .答案： Snn23n .高考题 3(2014 年高考福建卷文科第17 题 )
3、在等比数列 an 中， a23,a581 .(1)求 an ；(2)设 bnlog 3 an ，求数列 bn的前 n项和 Sn .答案： (1) a3n 1 ； (2) Snn2n .n2高考题 4(2014 年高考重庆卷文科第16 题 )已知an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，页眉内容Sn 表示an 的前 n 项和 .(1)求 an 及 Sn ；(2)设 b 是首项为2 的等比数列，公比q 满足 q2(a41)q S40 ，求 b的通nn项公式及其前 n 项和 Tn .答案： (1) a 2n1, S n2； (2) bn22n 1 ,Tn2 (4n1) .nn32 倒序相加法事实上
4、，等差数列的前n 项和 Sn 的公式推导方法就是倒序相加法.例 3求正整数 m 与 n(mn) 之间的分母为3 的所有既约分数的和S .解显然，这些既约分数为：有也有S(m 1 ) (m2 ) (m4)(n4 ) (n2) ( n1)333333S(n1) (n2) ( n4)( m4) (m2) (m1)333333所以2S (mn) 2(nm) 2(n 2m2 ), Sn2m2例 44x，求和 f12f3Lf2001设 f ( x)2002f2002.4x2200220022001解可先证得f ( x)f (1x)1，由此结论用倒序相加法可求得答案为.23 裂项相消法例 5若 an 是各项
5、均不为111n0 的等差数列，求证：a2 a3an an 1.a1a2a1an 1证明设等差数列 an 的公差为 d ：若 d0 ，要证结论显然成立；若d0 ，得例 8111L12(nN 且 n 2) .证明 222n2123证明1111122 232n 2高考题 5 (2014年高考全国大纲卷理科第18 题 )等差数列 an 的前n项和为 S ，已知na1 10 ， a2 为整数，且 SnS4 .(1)求 an 的通项公式；页眉内容(2)设 bn1，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .an an 1答案： (1) an 133n ； (2) Snn.10(103n)高考题 6 (2014年
6、高考广东卷文科第19 题 )设各项均为正数的数列an 的前 n 项和为Sn ，且 Sn 满足 Sn2n2n 3 Sn 3 n2n 0, n N .(1)求 a1 的值；(2)求数列an 的通项公式；(3)证明：对一切正整数1111n ，有1)an (an 1).a1(a1 1) a2 (a23答 案 ： (1) a12 ； (2) an2n ； (3)当 n1 时 ， 可 得 欲 证 成 立 . 当 n2 时 ，111111，再用裂项相消法可得欲an (an 1)2n(2 n1)(2 n1)(2 n 1)2 2n12n 1证.高考题 7(2014 年高考山东卷理科第19 题 )已知等差数列 a
7、n 的公差为 2，前 n 项和为 Sn ，且 S1 ， S2 ， S4 成等比数列 .(1) 求数列 an 的通项公式；(2)令 bn = (1) n 14n , 求数列 bn 的前 n 项和 Tn .an an 12n2为奇数答案： (1) an 2n1， Tn2n1n.2n为偶数2n1n4 分组求和法例 9 求 Sn1111L1111 1241Ln 1.2242解 设 an111211Ln 1 ，得 ann 1 .2422页眉内容1n 项和：所以本题即求数列2 n 1的前2an12例 10 设数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn，又 bn( 1) n Sn ，求数列 bn 2的前 n
8、 项和 Tn .an2解 在1n1a11Sn中，令.可求得2还可得相减，得所以 an 是首项为1 公差为 2 的等差数列，得2所以Snan1n2 ,bn( 1)n n22当 n 为偶数时，当 n 为奇数时，总之， Tn(1) n n(n 1).2高考题 8(2014 年高考北京卷文科第15 题 ) 已知 an 是等差数列，满足a1 3 ，a4 12 ，数列bn满足 b1 4 ， b420 ，且bn an 是等比数列 .(1) 求数列 an 和 bn 的通项公式；(2) 求数列 bn 的前 n 项和 .答案： (1)an =3n, bn =3n 2n 1； (2)3 n( n1) 2n1 .2高考题9(2014年高考山东卷文科第19题在等差数列 a 中，已知公差，是)nd 2 a2a1 与 a4 的等比中项 .(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 bnan (n1) ，记 Tnb1b2 b3 b4 ( 1)n bn ，求 Tn .2(n1)2n为奇数a2n ，2答案： (1)Tn.n1)n(nn为偶数2页眉内容高考题 10(2014 年高考浙江卷理科第19 题 (部分 )求数列 2n1的前 n 项和n
