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1、. -第九章 重积分一、选择题1.I=球面部， 则I= C A.的体积B.C.D. 2.是*=0, y=0, z=0, *+2y+z=1所围闭区域，则 B A. B. C. D. 3. 设区域由直线和所围闭区域，是位于第一象限的局部，则B A B CD4.:，则 C A. 1 B. C. 0 D.5，其中，则 D A. B. C. D.-6设，D为全平面，则 CA. B. C. D.7积分可写为 D A. B. B. D.8.交换二次积分的积分顺序为 A.(A) (B) (C) (D) 9.设平面区域由围成，假设 则的大小顺序为 C.(A) (B) (C) (D) 10的值 B.(A) 大于零
2、 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定11设积分区域由围成，则 C.(A) (B) (C) 0 (D) A, B, C都不对12的值 B.(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定13.把二次积分化为极坐标形式的二次积分B .(A) (B) (C) (D) 14.设积分区域D是由直线y=*,y=0,*=1围成，则有AABCD15.设D由围成，则BABC1 D16根据二重积分的几何意义，以下不等式中正确的选项是( B )；(A) ：，；(B) ：，；(C) ：；(D) ：+17( C )，其中：；(A)； (B)；(C)； (D)18. 二重积分CA1 BCD219.的
3、值等于 A A. ； B.； C.； D.20.二重积分CA1 BCD221. 设D是区域，则a=BA1 B2 C4 D822. 假设D是平面区域，则二重积分BABCD123. 设D由围成，则BABC1 D二、填空题1变换积分次序 2比较大小：其中D是以为顶点的三角形 0解：采用柱坐标16.计算，其中D由y=*，*=0，y=1所围成的平面区域。解： 17. 求，其中D为直线,所围成的区域。=2分=2分=18设D是由所围在第一象限的局部，求二重积分解 =19、求，其中D为：。解：(3分)=曲面积分与曲线积分选择 1设是从O0，0到点M1，1的直线段，则与曲线积分I=不相等的积分是： A) B)
4、C) D) 2设L是从点O(0,0)沿折线y=1-|*-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I=等于 A)0 B)-1 C)2 D)-2 3设L为下半圆周，将曲线积分I= 化为定积分的正确结果是： A) B) C) D) 4设L是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA方向，则等于： A) -8 B) 0 C) 8 D) 205设AEB是由点A(-1,0) 沿上半圆经点E(0,1)到点B(1,0)，则曲线积分I=等于： A) 0 B)C) D) 一、 填空 1是光滑闭曲面的外法向量的方向余弦，又所围的空间闭区域为；设函数P(*,y,z),Q(
5、*,y,z)和R(*,y,z)在上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有 =。 2设L是*oy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L 所围成的平面闭区域D的面积等于。 3设函数P(*,y,z,)在空间有界闭区域上有连续的一阶偏导数，又是的光滑边界面的外侧，则由高斯公式，有。4设是球面的外侧，则积分。 5设L是*oy 面上的圆周的顺时针方向，则I1=与I2=的大小关系是。 6设力的模, 的方向与一样，则在力的作用下，质点沿曲线L:正向绕行一周，力所做的功可用曲线积分表示为: 。二、 计算1 计算曲线积分，其中L为连结O(0,0),A(1,0),B(0,1) 的闭曲线OABO.2 计算，其中
6、L由直线段AB与BC 组成，路径方向从点A(2,-1) 经点B(2,2)到点C(0,2).3 求 I=, 其中为由点A(a,0)到点O(0,0)上半圆周.4 验证：当时，是*二元函数U(*,y) 的全微分，并求U(*,y).5 计算，是球面在第一卦限局部的上侧。6 设在*oy 面有一分布着质量的曲线弧L，在点(*,y)处它的线密度为(*,y)，用对弧长的曲线积分分别表达：1这曲线弧对*轴、对y轴的转动惯量I*,Iy；2这曲线弧的重心坐标。1 计算以下对弧长的曲线积分：1，其中L为圆周*=acost ,y=asint ；2，其中 L为圆周，直线y=* 及 * 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界；
7、3，其中为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点(0,0,0) , (0,0,2) , (1,0,2) , (1,3,2) .2 计算以下对坐标的曲线积分：1，其中L 为圆周及 * 轴所围成的在第一象限的区域的整个边界按逆时针方向绕行；2 ，其中 L为圆周按逆时针方向绕行；3，其中是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线。 9利用曲线积分，求以下曲线所围成的图形的面积：圆. 10证明以下曲线积分在整个*oy面与路径无关，并计算积分值： 11利用格林公式，计算以下曲线积分：, 其中L为正向星形线 . 12验证以下 P(*,y)d*+Q(*,y)dy在整个*oy平面是*一函数U(*,y)
8、的全微分，并求这样的一个U(*,y) ： 13计算以下对面积的曲面积分：1，其中为平面2*+2y+z=6在第一卦限中的局部；2，其中为锥面被柱面所截得的有限局部。 14求抛物面壳 ()的质量，此壳的面密度的大小为=z. 15计算以下对坐标的曲面积分：1，其中是柱面被平面z=0及z=3 所截得的在第一卦限的局部的前侧；2，其中是平面*=0 ,y=0 ,z=0 ,*+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。 16利用高斯公式计算曲面积分：, 其中为球面的外侧。三、 证明f(u)连续，且L为逐段光滑的简单封闭曲线，证明：四、 应用 1求均匀的锥面设面密度为1对o*轴的转动惯量。 2求矢量场穿
9、过圆柱体的全外表的流量和侧外表的流量。 3求均匀弧*=a(t-sint) ,y=a(1-cost)的重心坐标。 4设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置()沿直线移动到 ()时重力所作的功。 5设曲线L的极坐标方程为，其上任一点处的线密度等于该点处矢径的长度，求L 的质量。 6*求半径为R的均匀半圆周L线密度为=1对于位于圆心的单位质量的质点的引力。 7*试用曲线积分求平面曲线L1 ：绕直线L2 ：旋转所成旋转曲面的面积。五、 模拟1 试解以下各题：（1） 设是由光滑闭曲面所围成的空间闭区域，其体积记为V，则沿外侧的积分= 。 （2） L是*oy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为(*,y)，则L关于o*轴的转动惯量可用曲线积分表示为。其中(*,y )为连续函数（3） L是从A(1,6)沿*y=6至点B(3,2)的曲线段，则。（4） 力构成力场y0，假设质点在此力场(y0) 运动时场力所做的功与路径无关，则m= 。2 试解以下各题：（1） 设L是圆周负向一周，则曲线积分 A) B) C) D) 2设L是表示的围线的正向，则之值等于 A) 0 B)2 C) - 2 D)4ln23设L是从A(1,0) 到 B(-1,2)的线段，则曲线积分= A) B)
