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1、上海大学 2015 2016学年 秋 季学期研究生课程论文课程名称： 空间理论基础 课程编号： 论文题目: 研究生姓名: 孙亚南 学 号: 15720007 论文评语:成 绩: 任课教师: 评阅日期: 注:后接课程论文的正文，格式参照公开发表论文的样式。拓扑空间中连续映射的等价命题及证明孙亚南（上海大学 理学院，上海200444）摘要：本篇论文主要介绍了拓扑空间中连续映射的定义.总结了连续映射一些相关的等价命题,并且给出了相应的证明.关键词：拓扑空间；连续映射；点连续The Equivalent Proposition and Proof ofContinuous Mapping in Top
2、ological SpaceSun Yanan(School of science, Shanghai University, Shanghai 200444, China)Abstract: This paper mainly introduces the definition of continuous mapping in topological ,summarizes the equivalent proposition of continuous mapping, and provides the detailed proving.Key words: topological spa
3、ce; continuous mapping; point continuity1 引言在数学研究的过程中一般要涉及两类基本对象。例如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换。在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等。并且对后者都要提出一类来重点研究，那就是拓扑空间及拓扑空间中的连续映射。2 拓扑空间及连续映射的定义拓扑空间定义：设是一个集合,是的一个子集族. 如果满足如下条件:（1）,；（2）若,则；（3）若，则，则称是的一个拓扑.如果是集合的一个拓扑，则称偶对（，）是一个拓扑空间.连续映射定义： 定义1：设和是两个拓扑空间,如果的每
4、一个邻域的原像是的一个邻域,则称映射是一个在点处连续的映射,或简称映射在点处连续.定义2：设和是两个拓扑空间,，如果中每一个开集的原像是中的一个开集,则称是从到的一个连续映射.定义1和定义2是“局部”连续和“整体”连续之间的关系，他们之间存在着一个等价关系：设设和是两个拓扑空间，则映射连续当且仅当对于每个点，映射在点处连续.为了更好地说明这两个定义之间的关系，我们给下面的证明.证明：必要性:对设是的一个邻域，则存在开集使得，即；因为连续,故是开集，则是的一个邻域；所以对于每个点，映射在点处连续.充分性：设是的一开集，则对于每一个，即，有是的一个邻域.因为映射在点处连续，故是的一个邻域，则是一个
5、开集，所以连续.3 连续映射的等价命题及证明3.1 与闭包和内部相关的等价命题设和是两个拓扑空间,，则以下条件等价：（1） 是一个连续映射.（2） 中的任何一个闭集的原像是一个闭集.（3） 对于中的任何一个子集,的闭包的象包含于的象的闭包,即.（4） 对于中的任何的一个子集,的闭包的原像包含的原像的闭包,即.（5） 对于中的任何一个子集,的内部的原像包含于的原像的内部，即.（6） 对于中的任何一个子集，是满射，的内部的象包含的象的内部，即.证明：由（1）证（2）：设是一个闭集，则是一个开集.由（1）可知，是一个连续映射，即开集的原像是开集得：是中的一个开集，则是中的一个闭集.由（2）证明（3）
6、：设，因为，故，又因为是中的闭集，由（2）闭集的原像是闭集可得：是中的一个闭集.所以，即.由（3）证明（4）：设,对于集合,由（3）得：，故有，即，即得.由（4）证明（5）：设，则,由（4）得：,则有.由（5）证明（6）：设则集合,由（5）得：，故有，即有.由（6）证明（1）：设是中的开集，则，由（6）得：即.因为,所以.又因为,故，则是中的开集，可知是一个连续映射.3.2 与基和子基、邻域基和邻域子基有关的等价命题3.2.1与基和子基有关的等价命题设是两个拓扑空间，则以下条件等价：（1） 是一个连续映射.（2） 拓扑空间有一个基,使得对于任何一个,原像是中的一个开集.（3） 有一个子基,使得
7、对于任何一个,原像是中的一个开集.证明：由（1）证明（3）：因为是一个拓扑空间，故的拓扑本身便是的一个子基.设，由的连续性，可得是中的一个开集.即有一个子基,使得任何一个,原像是中的一个开集.由（3）证明（2）：设是拓扑空间的一个子基，使得是的开集.根据的定义,是的拓扑的一个基.对于，有,由是开集且有限个开集的交是开集，得是的一个开集.即是中的一个开集.由（2）证明（1）：设是的拓扑的一个基，使得对于任何一个，原像是的一个开集.再设是中的一个开集，则，使得,于是有.因为是中的一族开集之并，为开集，故是开集，由连续的定义可知是连续映射.3.2.2与邻域基和邻域子基有关的等价命题设是两个拓扑空间，
8、则以下条件等价：（1） 在点处连续.（2） 有一个邻域基，使得对于任何，原像是的一个邻域.（3） 是有个邻域子基，使得对于任何，原像是的一个邻域.证明：由（1）证明（3）：显然，点的邻域本身便是的一个邻域子基.由（3）证明（2）：设是的一个邻域子基，使得对于任何，原像是的一个邻域.由邻域子基的定义，是的一个邻域基，对于任意，有,因此原像是的一个邻域. 由（2）证明（1）：设是的一个邻域子基，使得对于任何，原像是的一个邻域.如果是的一个邻域，则存在使得，故有.（4） 而是的一个邻域，则也是的一个邻域.所以在点处连续.3.3其他相关连续映射的等价命题 下面给出三种其他相关连续映射的等价命题.（1）
9、 设是拓扑空间，是一个连续映射，当且仅当连续.证明：必要性：因为是积空间对于第个坐标空间的投射，所以是连续映射.又因为是连续映射且连续映射的复合还是连续映射，故有连续.充分性：因为连续，所以对于中任意子基的元素，有是中的开集,所以是一个连续映射.（2） 设是三个拓扑空间，且是一个商映射，则映射连续当且仅当映射连续.证明：必要性：因为是一个商映射，所以是一个连续映射,又因为且连续映射的复合仍连续，故映射连续.充分性：设是中的一个开集，因为连续，所以是中的开集，又.由商拓扑的定义是中的开集，则映射连续.（4） 设是两个拓扑空间，是由中的开集构成的一个集族，使得，则映射是连续的当且仅当对于每一个，映
10、射是连续的.证明：必要性：设是中的开集，由于映射是连续的，所以是的开集，故是的开集.由连续映射的定义可知映射是连续的.充分性：设是的开集，由于映射是连续的，所以是的开集.因为开子空间中的开集一定是母空间的开集，而开子空间的母空间，所以中的开集也是中的开集，即映射是连续的.4 结论以上这些连续映射的等价命题把拓扑学中各个分散的知识点紧密联系起来，使原本很抽象的拓扑知识具体化，这足以显示出连续映射在拓扑学中的重要地位，因此我们要熟练掌握连续映射及其相关的知识，这对于我们今后的学习有着很大的帮助.参考文献：1熊金城.点集拓扑讲义M.北京:高等教育出版社,1998.2凯莱JL.一般拓扑学M.北京:科学出版社,1982.3高国士.拓扑空间论M.北京:科学出版社,2000.4余玄冰.点集拓扑M.北京:北京师范大学出版社,1983.- 1 -
