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1、第九讲行列式单元测试题点评一、填空题（每小题2分，满分20分）1 .全体3阶排列一共有 6个、它们是123,132,213,231,312,321;2 .奇排列经过奇数次对换变为排列，奇排列经过偶数次对换变为奇排列;3 .行列式D和它的转置行列式D有关系式D D ；4 .交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号：5 .如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于 零；6 . 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子m以椁到行列式符号的外边；7 .把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行 （列）的对应元素上，行列式的值不变;8 .行列式的某一行（列）的元
2、素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零;01a12an#9.a11a22K ann；ann2 ViT k10.当 k= -2 时，4k2k二、判断题（每小题 3分，满分24分）1.右(ili2in)k,则(i2iii3 in) k 1(V)alla12a1na2ia22a2n，则 D 的一般项 ai1j1ai2j2ainj n的符号an1an2ann是（1）(j1 j2(X)3 .若n（n2）阶行列式D=0,则D有两行（列）元素相同.(X)4 .若n阶行列式D恰有n个元素非0,则D* 0.X)5 .对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数,就可以直接(X)6.若行列式D的相同
3、元素多于n2 n个，则D=0.X)7.a11a12ai3a13a23a33a21a22a31a32a23a33a12a22a23a11a21a31X)8.n阶行列式主对角线上元素乘积项带正号,副对角线上元素乘使用克莱姆法则求解。(X)积项带负号。三、单项选择题（每小题 4分，满分20分）1 .位于n级排列iJL ik 11 ik 1L in中的数1与其余数形成的反序个数为(A)k2(A) k-1 (B) n-k-1 (C)C0(D) C； k2 .设iL in是奇排列,则inin 1L iz是(C)(A)奇排列；(B)偶排列；(C)奇偶性不能仅由n的奇偶性确定的排列;(D)奇偶fi仅由n的奇偶
4、性确定的排列。D);3 . 一个不等于0的n阶行列式中非零元素个数至少为(A)n(n 1)(B)n2(C)(n1)2(D)n4 .以下数集作成数环的是(A)(C)S= b、5 b Z ;S= a b . 3 a,b(1)、5.行列式(A)(3)(4)(B)(D)(4)、(1)、S= aS= ab 3i a,ba00he 00 d中元素f的代数余子式是(C(B)(C) g(D)四、计算下列各题(每小题5分，满分20分)1.计算2k)1(2k-1)2L (k+1)k );解 (2 k )1 (2 k1 )2L (k1 ) k (12L k )(12 L (k1) k(k1) k(k1) k2.22
5、2.设D解An35 21101 3 124 113A12A13a14的值.A12A13A141111110513 1324 134.3.计算行列式D=53323334J5253323334、5552的值。J54424344(3 2)(4 2)(5(5 4)(6555253542)(64)(666263642)(4122223241332333415525354166263644.计算行列式3)(5 3)(65) 5=288、5123L110LDn022 LMMM000Ln 1n0000MMn 1 1 n3)的值。1211解 D n 02MM003L0L2LM0Ln 100Mn 1n00M1 n
6、将第 2 至n歹U 都加 到第 一列100 M0210 M03L0L2LM0Ln 100Mn00M1 nn 1 ( n 1) nn 1 ( n 1)!(1)( n 1)!(1)-22#五、证明下列各题（满分 16分）1 .设匕下2均为数域，证明FJ F2也是数域。（5分）因为0,1Fi,F20,1 Fi F2,a,b FiF2 a,bFi,aaa, bF2a b,ab,(b 0)F1,ab, ab, (b0)bbaF2a b,ab,-(b 0)4F2匕F2 是数域。bay bx c2 .已知a,b,c均不为0,证明cx az b有唯一解。（5分） bz cy a证明因为方程组的系数行列式ba0
7、Dc0a2abc 0（Qa,b,c均不为 0）0cb所以有克莱姆法则知，方程组有唯一解。0 a b c3.设a,b,c是一个三角形的三边，证明0. (6分)a 0 c bb c 0 ac b a 0证明0 a b ca 0 c bb c 0 ac b a 01，、1 (a+b+c) 11a b c0 c bc 0 ab a 0(a+b+c)000a c b b c c a b a c b a a b c-ac-bb-c(a+b+c)c-a-ba-cb-aa-b-c-a c-b b-c (a+b+c) c -c a-b b a-c -b-111=(a+b+c)(a-(b+c) c -c a-bb
8、 a-c -b(a+b+c)(a-(b+c)-100c 0 a+c-b b a+b-c 0(a+b+c)(a-(b+c)(a+b-c)(a+c-b)0(因为a,b,c是三角形的三边)本讲作业：(一)解答下列各题121 x 1D 121.计算行列式 MM123 L3 Lx 1 LM O3 LnnnMx 1解 当x 1时，Dn 0,所以(x 1)|Dn同理(x 2),L , x (n 1)均为Dn的因式。又x i与x j(i j)各不相 同，所以 (x-1) (x 2)L x (n 1)| Dn但Dn的展开式中最高次项xn 1的系数为1,所以Dn= (x-1) (x 2)L x (n 1)2.计算
9、n阶行列式解由于按第一列展开有征方程x2 5x 6Dn5Dn6Dn 2,作特0,解此方程得二根2,3 ,令Dn A2n1 B3n 11,2可得2A 3B 19解得A4,BDn3n 1 2门 13.证明D其中f (x)a0an 1an 2Maia0an 1Ma2a1a0Man 1an 2an 3Mf(1)f()L f( n1),a1n 1a2a3iaiX ,i 0cos证明作矩阵乘积a0an 1an 2Maia0an 1Ma2a1a0Misin-a1LLLLLan 1an 2an 3Ma。111M1M2( n 1)LLLLL2( n 1)M(n 1)(n 1)f f fMf111M1f() f()2f()M11f(122(f( 2)M2(n 1)LLLLLf( 2)f( 2)M1)f( 2)1n 12(n 1)M(n 1)(n 1)LLLLL两边取行列式即得所征。说明：此行列式称为循环行列式, 列式计算，可直接利用这一结果。例如计算行列式D=122n(n 1)2M22f( n1)n 1f ( n 1)2( n 1) f ( n 1)M1)(n 1) f ( nf()Of( n1)以后见到以下类型的行22122 nM3212M42（二）阅读教材 P49-60,弁回答什么是矩阵、2n(n 1)(n 2)M12矩阵的相等？矩阵有哪些运算和性质？有哪些特殊矩阵和特殊性质?
