换元法在代数中的应用

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1、换元法在代数中的妙用 A层次材料：基础巩固换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，现举例说明.1.用换元法分解因式例1.分解因式:.解:设,则原式= = = = =.点评:运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式.2.用换元法解分式方程和无理方程例2.解方程： (1)；(2).解: (1)原方程可化为: . 设,则方程化为: . 解方程,得 . 当时， . 解得,. 当时, . 解得,或. 经检验,知,都是原方程的解. 所以,原方程的解为,.点评:

2、运用换元法解分式方程,主要有三种情况.一是原方程可化为关于某一个分式的二次方程(如，本例题),这时,只须设这一分式为辅助元即可；二是原方程中含有未知数的几个分式，除数字系数外，互为倒数关系（如，解方程：），这时，只须设其中一个分式为辅助元即可；三是含有未知数的各个分式的分母都是关于未知数的二次三项式，且二次项系数和一次项系数对应成比例（如，解方程），这时，只须设二次项系数的绝对值最小的多项式为辅助元即可.(2)原方程可化为: . 设,则方程化为: . 解方程,得 . 当时, . 解得,. 当时, . 此方程无解. 经检验,知都是原方程的解. 所以,原方程的解为.点评:解比较复杂的无理方程时,如

3、果用两边平方的方法,将出现高次方程,增加解题难度,此时若能根据方程的特点,灵活地应用换元法,则可以实现化繁为简、化难为易的目的.在采用换元法解无理方程时,一般设整个根式为辅助元,这样不仅能简化方程,而且往往能直接把无理方程化为有理方程.B层材料：能力提升3.用换元法解高次方程例3.解方程:.解:原方程可化为: . 即. 设,则方程化为: . 解得,. 当时, . 解方程,得 . 当时, . , 方程无实数根. 因此,原方程的根为.点评:解一元高次方程的基本思想是降次,而换元法是降次的一种基本方法.4.用换元法解方程组例4.解方程组: 解:设,则原方程组可化为: 由(2)得,. (3) 将(3)代入(1),得 . 解得,(不能为负,舍去). . 得 解得, 经检验,知是原方程组的解. 所以,原方程组的解为.点评:妙用换元法,将无理方程组化为有理方程组,从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而熟悉的问题.C层材料：拓展升华5.用换元法求值例5.计算: .解:设,则 原式= = =.点评:在计算求值时,常妙用换元法,把一个代数式用一个新元进行代换.以新元参与有关运算,大大简化了计算过程.