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1、高一数学集合知识点总结 高一数学集合知识点总结一.知识归纳：1.集合的有关概念。1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则ab)和无序性(a,b与b,a表示同一个集合)。集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。4)常用数集：n，z，q，r，n
2、*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。1)子集：若对xa都有xb，则a b(或a b);2)真子集：a b且存在x0b但x0 a;记为a b(或 ，且 )3)交集：ab=x| xa且xb4)并集：ab=x| xa或xb5)补集：cua=x| x a但xu注意：? a，若a?，则? a ;若 ， ，则 ;若 且 ，则a=b(等集)3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。4.有关子集的几个等价关系ab=a a b;ab=b a b;a b c ua c ub;acub = 空集 cu
3、a b;cuab=i a b。5.交、并集运算的性质aa=a，a? = ?，ab=ba;aa=a，a? =a，ab=ba;cu (ab)= cuacub，cu (ab)= cuacub;6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。二.例题讲解：【例1】已知集合m=x|x=m+ ,mz,n=x|x= ,nz,p=x|x= ,pz，则m,n,p满足关系a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m分析一：从判断元素的共性与区别入手。解答一：对于集合m：x|x= ,mz;对于集合n：x|x= ,nz对于集合p：x|x
4、= ,pz，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以m n=p，故选b。分析二：简单列举集合中的元素。解答二：m=， ，n=， , , ，p=， , ，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。= n， n，m n，又 = m，m n，= p，n p 又 n，p n，故p=n，所以选b。点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。变式：设集合 ， ，则( b )a.m=n b.m n c.n m d.解：当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b【例2】定义集合a*b=x|xa且
5、x b，若a=1,3,5,7,b=2,3,5，则a*b的子集个数为a)1 b)2 c)3 d)4分析：确定集合a*b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合a=a1，a2，an有子集2n个来求解。解答：a*b=x|xa且x b， a*b=1,7，有两个元素，故a*b的子集共有22个。选d。变式1：已知非空集合m 1,2,3,4,5，且若am，则6?am，那么集合m的个数为a)5个 b)6个 c)7个 d)8个变式2：已知a,b a a,b,c,d,e,求集合a.解：由已知，集合中必须含有元素a,b.集合a可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c
6、,e,a,b,d,e.评析 本题集合a的个数实为集合c,d,e的真子集的个数，所以共有 个 .【例3】已知集合a=x|x2+px+q=0,b=x|x2?4x+r=0,且ab=1,ab=?2,1,3,求实数p,q,r的值。解答：ab=1 1b 12?41+r=0,r=3.b=x|x2?4x+r=0=1,3, ab=?2,1,3,?2 b, ?2aab=1 1a 方程x2+px+q=0的两根为-2和1， 变式：已知集合a=x|x2+bx+c=0,b=x|x2+mx+6=0,且ab=2,ab=b，求实数b,c,m的值.解：ab=2 1b 22+m?2+6=0,m=-5b=x|x2-5x+6=0=2,
7、3 ab=b 又 ab=2 a=2 b=-(2+2)=4,c=22=4b=-4,c=4,m=-5【例4】已知集合a=x|(x-1)(x+1)(x+2)>0,集合b满足：ab=x|x>-2，且ab=x|1分析：先化简集合a，然后由ab和ab分别确定数轴上哪些元素属于b，哪些元素不属于b。解答：a=x|-21。由ab=x|1-2可知-1,1 b，而(-,-2)b=。综合以上各式有b=x|-1x5变式1：若a=x|x3+2x2-8x>0，b=x|x2+ax+b0,已知ab=x|x>-4，ab=,求a,b。(答案：a=-2，b=0)点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用
8、数形结合的方法，作出数轴来解之。变式2：设m=x|x2-2x-3=0,n=x|ax-1=0，若mn=n，求所有满足条件的a的集合。解答：m=-1,3 , mn=n, n m当 时，ax-1=0无解，a=0 综得：所求集合为-1，0， 【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为q，若pq，求实数a的取值范围。分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用参数分离求解。解答：(1)若 ， 在 内有有解令 当 时，所以a>-4,所以a的取值范围是变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。解答：点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论
9、，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。三.随堂演练选择题1. 下列八个关系式0= =0 00 0 其中正确的个数(a)4 (b)5 (c)6 (d)72.集合1，2，3的真子集共有(a)5个 (b)6个 (c)7个 (d)8个3.集合a=x b= c= 又 则有(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一个4.设a、b是全集u的两个子集，且a b，则下列式子成立的是(a)cua cub (b)cua cub=u(c)a cub= (d)cua b=5.已知集合a= ， b= 则a =(a)r (b) (
10、c) (d) 6.下列语句：(1)0与0表示同一个集合; (2)由1，2，3组成的集合可表示为1，2，3或3，2，1; (3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 1，1，2; (4)集合 是有限集，正确的是(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)(c)只有(2) (d)以上语句都不对7.设s、t是两个非空集合，且s t，t s，令x=s 那么sx=(a)x (b)t (c) (d)s8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式 ，则不等式ax2+bx+c 0的解集为(a)r (b) (c) (d) 填空题9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可
11、表示为10.若a=1,4,x,b=1,x2且a b=b，则x=11.若a=x b=x ,全集u=r，则a =12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是13设集合a= ,b=x ,且a b，则实数k的取值范围是。14.设全集u=x 为小于20的非负奇数，若a (cub)=3，7，15，(cua) b=13，17，19，又(cua) (cub)= ，则a b=解答题15(8分)已知集合a=a2,a+1,-3,b=a-3,2a-1,a2+1, 若a b=-3，求实数a。16(12分)设a= ， b= ，其中x r,如果a b=b，求实数a的取值范围。四.习题答案选择题1 2 3 4 5 6 7 8c c b c b c d d填空题9.(x,y) 10.0, 11.x ,或x 3 12. 13. 14.1,5,9,11解答题15.a=-116.提示：a=0，-4，又a b=b，所以b a()b= 时， 4(a+1)2-4(a2-1)<0，得a<-1()b=0或b=-4时， 0 得a=-1()b=0，-4， 解得a=1综上所述实数a=1 或a -1 6
