《初三数学函数综合题型及解题方法讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三数学函数综合题型及解题方法讲解（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二次函数综合题型精讲精练题型一：二次函数中的最值问题例 1 ：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2 +bx+c 经过 A （ 2 ， 4 ），O （ 0，0 ）， B（ 2 ，0 ）三点（ 1 ）求抛物线 y=ax 2 +bx+c 的解析式；（ 2 ）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值解析：（ 1）把 A （ 2 ， 4 ）， O（ 0 ， 0 ）， B（ 2， 0 ）三点的坐标代入y=ax 2 +bx+c中，得解这个方程组，得a= ， b=1 ，c=0所以解析式为y= x2+x （ 2 ）由 y= x2+x= （ x 1） 2 +，可得抛物线的对称轴为 x=1
2、 ，并且对称轴垂直平分线段OBOM=BMOM+AM=BM+AM连接 AB 交直线 x=1 于 M 点，则此时 OM+AM最小过点 A 作 AN x 轴于点 N ，在 Rt ABN 中， AB=4，因此 OM+AM 最小值为方法提炼：已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点A、B，求 AM+BM 最小值的问题，我们只需做出点 A 关于这条直线的对称点A ，将点 B 与 A 连接起来交直线与点 M ，那么 A B 就是 AM+BM的最小值。 同理，我们也可以做出点B 关于这条直线的对称点B，将点 A 与 B连接起来交直线与点 M ，那么 AB 就是 AM+BM的最小值。应用的定理是：两点之间线
3、段最短。AABBM或者MAB例 2 ：已知抛物线 C1 的函数解析式为 yax 2bx3a(b 0) ，若抛物线 C1 经过点 (0, 3) ，方程ax 2bx 3a 0 的两根为 x1 ， x2 ，且 xx24 。1（ 1 ）求抛物线 C1 的顶点坐标 .（ 2 ）已知实数 x 0 ，请证明： x112 ,并说明 x 为何值时才会有 x2 .xx（ 3 ）若抛物线先向上平移4 个单位，再向左平移1 个单位后得到抛物线C2 ，设 A(m, y1 ) ， B(n, y2 ) 是 C2上的两个不同点， 且满足： AOB900，m 0，n 0 .请你用含有 m 的表达式表示出 AOB 的面积 S ，
4、并求出 S 的最小值及 S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式。第 1页 共 12 页解析：（ 1 ）抛物线过（ ,）点， 3 aax2 bx x2 bx = 的两根为x1 ,x2 且 x1 - x 2 x1x2(x1x2 )24x1 x2 且 b b x2 x（ x） 抛物线 的顶点坐标为（，）（ 2 ）x， x12 ( x1) 20xxx1x12, 显然当 x时，才有2,xx（ 3 ）方法一：由平移知识易得 的解析式为： yx 2 (m ，m )， B（ n ， n ）AOB 为 RtOA +OB =AB m m n n （ m n ） （ m n ）化简得： m n AOB=1OA ?
5、OB =1m2m 4 ? n 2n422m n AOB12 m 2n 21 2 m2122m2 1 (m1 ) 21 m112 12m2m2 AOB 的最小值为，此时m ,( , )直线 OA 的一次函数解析式为 x方法提炼：已知一元二次方程两个根x12,求 |x12|。因为12|=(x1x2 )24x1x2,x-x|x-x根据一元二次方程的求根公式 x1bb24ac ; x2bb24ac ; 可得到：b ; x1 x2c .2a2ax1x21aa12, (m o); 当 m 1时， m2，取得最小值。mmm例 3 ：如图，已知抛物线经过点 A （ 1 ， 0）、 B（3 ，0 ）、C（ 0
6、， 3 ）三点（ 1 ）求抛物线的解析式（ 2 ）点 M 是线段 BC 上的点（不与B， C 重合），过 M 作 MN y 轴交抛物线于N ，若点 M 的横坐标为m ，请用 m 的代数式表示MN 的长（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，连接NB 、 NC ，是否存在m ，使BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由第 2页 共 12 页解析：（ 1）设抛物线的解析式为：y=a （ x+1 ）（ x 3），则：a（ 0+1 ）（ 0 3 ） =3 ，a= 1 ；抛物线的解析式：y= （ x+1 ）（ x3 ） = x2 +2x+3 （ 2 ）设直线 BC 的解析式为： y=kx+b
7、，则有：，解得；故直线 BC 的解析式： y= x+3 已知点 M 的横坐标为m ，则 M （ m ， m+3 ）、 N （m ， m 2+2m+3）；故 MN= m 2+2m+3（ m+3 ） = m 2 +3m （ 0 m 3 ）（ 3 ）如图；SBNC =S MNC +S MNB =MN （ OD+DB ） =MN OB，SBNC =（ m 2 +3m ）3= （ m ） 2 +（ 0 m 3 ）；当 m=时，BNC 的面积最大，最大值为方法提炼：因为 BNC 的面积不好直接求，将BNC 的面积分解为 MNC 和MNB的面积和。 然后将BNC 的面积表示出来，得到一个关于m 的二次函数。
8、此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。题型二：二次函数与三角形的综合问题例 4 ：如图，已知：直线yx3 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B，抛物线 y=ax 2+bx+c经过 A 、B、 C（ 1 ，0 ）三点 .（ 1 ）求抛物线的解析式;（ 2 ）若点 D 的坐标为（ -1 ， 0），在直线yx3 上有一点 P,使ABO与ADP相似，求出点P的坐标；（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在
9、，请说明理由解：（ 1）：由题意得，A（ 3 ，0 ）， B（ 0， 3）抛物线经过 A 、B、C 三点，把 A（ 3，0 ），B（ 0 ，3）， C（ 1 ，0 ）三点分别代入 y = ax 2 + bx + c 得方程组9a3bc0c3abc0第 3页 共 12 页a1解得： b4c3抛物线的解析式为y = x2 - 4x + 3（ 2 ）由题意可得：为ABO等腰三角形 ,如图所示，若 ABO1DAP，则AOOBADDP1 DP1 =AD=4,P (- 1,4)1若 ABO ADP，过点 P作 PMx 轴于 M ， AD=4,222 ABO为等腰三角形,是ADP等腰三角形 ,由三线合一可得： DM=AM=2= P2M ，2即点 M 与点 C 重合P（ 1， 2 ）2（ 3 ）如图设点E ( x, y) ，则S ADE1AD | y | 2 | y |2当 P1(-1,4) 时，S 四边形 AP1CE =S ACP1 +S ACE14122 | y |22= 4 + y2 y = 4 + y y = 4点 E 在 x 轴下方y = - 4代入得：x2- 4x + 3 = - 4 ,即 x24x 70=(-4) 2 -4 7=-120此方程无解当 P2（ 1 ， 2）时， S 四边形 AP2CE =S 三角形 ACP2 +S 三角形 ACE = 2 + y2 y = 2
