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1、1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1已知a355，b444，c533，则有 Aabc Bcba Ccab Dacb2 方程组的正整数解的组数是 A1 B2 C3 D43如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作为一种三角形的三边之长，那么实数m的取值范畴是 A0m1 Bm C m1 D m14如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 A62 B63 C64 D655设AB是O的一条弦，CD是O的直径，且与弦AB相交，记MSABCSABD，N2 SOAB ，则 AMN BMN CMN DM、N的大小关系不拟定6设实数a、b满足不等式a(ab)a|ab
2、，则 Aa0且b0 Ba0且b0 Ca0且b0 Da0且b0二、填空题1在12，22，32，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有_个。2已知a是方程的根，则的值等于_3 设x为正实数，则函数的最小值是_4以线段AB为直径作一种半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2ACBC，则CAB_第二试一、已知ACECDE90，点B在CE上，CACBCD，通过A、C、D三点的圆交AB于F（如图）交CB于GGABCDEF求证：F为CDE的内心二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点为整点，试在二次函数的图像上找出满足y|x|的所有整点（x，y），并阐明理由。三、试证：每个不小于6的自然数n，都可
3、以表达为两个不小于1且互质的自然数之和。1995年全国初中数学联赛参照答案第一试一、选择题1解说：此类指数幂的比较大小问题，一般是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c(53)111251124311(35)11a25611(44)11b。选C。运用lg20.3010，lg30.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。2解说：此类方程是熟知的。先由第二个方程拟定z1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)也可以不解方程组 直接判断：由于xy(否则不是正整数)，故方程组或无解或有两个解，对照选择支，选B。3解说：显然，方程的一种根为1
4、，另两根之和为xx21。三根能作为一种三角形的三边，须且只须xx1又有044m1解得 m1 但是作为选择题只需取m 代入，得方程的根为1、，不能构成三角形，故涉及 的A、B、D均可否认，选C4解说：四个选择支表白，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一又由AB2AD225260252（52122）52132(3242)132392522BC2CD2故可取BD65为直径，得周长为65，选D5解说：此题的得分率最高，但并不表白此题最容易，由于有些考生的理由是错误的例如有的考生取AB为直径，则MN0，于是就选B其实，这只能排除A、C，不能排除D不失一般性，设CEED，在CE上取CFED，则有OFO
5、E，且SACESADESAEF2SAOE同理，SBCESBDE2SBOE相加，得SABCSDAB2SOAB，即MN选B若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CEAB、DFAB、OLAB，垂足分别为E、F、L连CF、DE，可得梯形CEDF又由垂径分弦定理，知L是EF的中点根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有CEDF2OL两边乘以AB，可得SABCSDAB2SOAB即MN选B6解说：取a1、b2可否认A、C、D，选B一般地，对已知不等式平方，有a(ab)aab显然a(ab)0（若等于0，则与上式矛盾），有 两边都只能取1或1，故只有11，即1，1有a0
6、且ab0，从而ba0选B二、填空题1解说：本题虽然以计算为载体，但一方面要有实验观测的能力经计算12，22，102，知十位数字为奇数的只有4216，6236然后，对两位数10ab，有（10ab）220a（5ab)b2其十位数字为b2的十位数字加上一种偶数，故两位数的平方中，也中有b4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，95中个位数浮现了几次4或6，有291192.解说：此类问题一般都先化简后裔值，直接把a代入将导致复杂的计算由已知，有a2a 原式 20 学生在这道题上的错误重要是化简的方向不明确，最后又不会将a2a作为整体代入这里核心是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活例如，由
7、有a3a2a a5a4a3 由，得a3a（a1） 由并将代入，得 a5a4a3a2（a3a）（a1） 于是，原式16（a2a1）16（1）203解说：这个题目是将二次函数yx2x与反比例函数y 作叠加，规定学生在掌握二次函数求最值（配措施）得基本上，做综合性与灵活性得运用，进行两次配方.当x1时，与同步取最小值0，因此y的最小值14解说：此题由笔者提供，原题是求sinCAB，让初中生用代数、几何相结合的措施求特殊角的三角函数值sin75、sin15解法如下：如图，因AB是直径，故ACB90，sinCAB由OC2AC BC得 在中，由正弦定理得sinAOC .AOC30或150CAB75或15第
8、二试一、解说：一方面指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角ABC中，斜边BC上的高，过ABD的内心与ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，ABC和AKL的面积分别记为S和T求证S2T在这个题目的证明中，要用到AK ALAD今年的初中联赛题相称于反过来，先给出AKALAD(斜边上的高)，再求证KL通过ABD、ADC的内心（图7）另一方面指出，本题的证法诸多，但思路重要有两个：其一，连FC、FD、FE，然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等下面是几种有代表性的证法证法1：如图6，连DF，则由已知，有CDFCAB45CDE
9、，故DF为CDE平分线连BD、CF，由CDCB，知FBDCBD45CDB45FDB，得FBFD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是ECD的平分线由于F是CDE上两条角平分线的交点，因而就是CDE的内心证法2：同证法1，得出CDF459045FDE之后，由于ABCFDE，故有B、E、D、F 四点共圆连EF，在证得FBDFDB之后，立即有FEDFBDFDBFEB，即EF是CED的平分线本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应当是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂由这个证明可知，F是DCB
10、的外心CDFCAB45CDE ，故DF为CDE平分线，F为CDE内心证法4：如图8，只证CF为DCE的平分线由AGCGBAGAB452，AGCADCCADCAB1451得12从而DCFGCF，得CF为DCE的平分线证法5：一方面DF是CDE的平分线，故CDE的外心I在直线DF上现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CACBCDd,则直线AB是一次函数yxd的图象（图9）若记内心I的坐标为（x，y），则xyCHIHCHHBCBd满足，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点由交点的唯一性知I就是F，从而证得F为RtCDE的内心还可延长ED交O于P，而CP为直径来证二、解说：此题
11、的原型由笔者提供题目是：坐标平面上纵、横坐标均为整数的点称为格点，对二次函数，请找出其位于第一象限内，纵坐标不不小于横坐标的格点这个题目的实质是解不等式 求正整数解直接解，数字较繁但有巧法，由12x 1995y 及1yx，知12(x1)199512x但195312621995126263，得x63，从而y21，所求的格点为(21，63)通过命题组的修改之后，数据更整洁且便于直接计算解法1: 已知 x，有x2x1810x当x0时，有 x211x180，得2x9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);当x0时，有 x29x180，得6x3，代入二次函数
12、，得合乎条件的2个整点：(6,6),(3,3)解法2： 由 y 为整数，知有关模10的余数只能为2（或-8）、7（或-3）、9（或-1）对x0，取x2,4,7,9,12,14, 顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，且当x9时，由 yx (x)2 (9)20,知yx，再无满足yx的解对x0，取x1,3,6,8,顺次代入，得(3，3)、(6，6)，且当x6时，由 yx (x)2 (6)20,知yx，再无满足yx的解故一共有6个整点，图示略解法3：先找满足条件yx的整点，即分别解方程x211x180x29x180可得(2，2)、(9，9)、(6，6)、(3，3)再找满足yx的整点，这时2x9或6x3，依次检查得(4，3)、(7，6)故共有6个整点三、解说：直观上可以这样看，当n6时，在2，3，n2中，必有一种数A与n互质(2An2)，记BnA2，有nA
