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1、一维准晶马德隆常数刘玉鑫（渭南师范学院物理与电气工程学院物理学2010级1班）摘要：回顾准晶体的发展应用，了解准晶的发展前景，简述准晶结构的的特征，物理性质，介绍马德隆常数及其重要意义和基本计算方法，介绍两种斐波那契类准晶结构的计算方法，通过构建一维准晶结构模型计算斐波那契类准晶结构的马德隆常数，从而对准晶体及其重要性有基本的认识，加深对马德隆常数的进一步理解应用。关键词：一维准晶体结构特征；马德隆常数；斐波那契类；点阵模型随着人们对准晶结构的认识越来越深入，准晶的重要价值也在被人们更多的发展应用，而马德隆常数作为晶体结构的重要特征参数，利用马德隆常数可计算晶体表面能和晶格能、结合能等重要物理
2、量，尽管现今未发现属于离子晶体的准晶体材料，但准晶体材料大部分由金属合金组成而金属键中含有离子键成份，因此本文在介绍准晶结构的基础上对一维准晶的马德隆常数进行计算。从而对准晶材料有更好的认识，并为准晶材料的利用提供参考价值。1准晶及其结构特征1.1什么是准晶准晶也就是准周期晶体1习。它是由以色列科学家谢切曼等人在1984年第一次发现的一种介于晶体与非晶体之间的特殊固态物质结构。是一种即在长程准周期上有序，又具有非晶体学旋转对称性的固态的有序物态相，它是一种最新发现的固态结构。1.2准晶体物质的物理特征准晶体材料物质由于其在就结构方面的特殊性，使得其具有晶体所没有的一些性质。1.2.1传输特性在
3、准晶物质已知的所有的物理性能中，它的电子传输特性是最特殊和最重要的。它主要体现在以下三个方面：导电性：（1）相较于普通的金属间化合物，热力学稳定的准晶物质的电阻率要高出许多。例如准晶相Al-Cu-Li，它全部是由非过渡元素族组成的，当在液氦温度时,它的的电阻率为900yOcm。相较于准晶相（含有过渡元素族），它的电阻率就更高了。例如Al-Cu-Ru准晶在同样温度下电阻率是100030000卩cm，Al-Cu-Fe准晶体是130011000cm,Al-Pd-Mn则为10009500cm。而Al-Pd-Re更是达到了400028000pOcm。(2) 准晶体物质的电阻率是和温度的变化成反比的，也就
4、是说它具有负的温度系数。(3) 电阻率对组成准晶合金材料的成分与结构的完整度极其敏感。我们给出的样品物质在质量上越好，它的电阻率就越大。(4) 而相对于二维十次准晶结构，在其周期方向上的测得的电阻率，是比准周期方向上的电阻率要小到75%95%，这里显示了超强的各向异性。导热性：(1) 相较于普通的金属物质，准晶材料的导热率普遍低了很多，而在室温下准晶材料的导热率，更是比普通的铝合金要低上两个数量级，这足以和常普遍使用的隔热物ZrO2相提并论。(2) 准晶结构物质的热阻值，是与温度成反比的，也就是它有负的温度系数。随着温度的升高，热量的扩散系数与比热容都是在增加的。(3) 较于导电性，所给准晶体
5、样品的质量越好，结构越完整，它的导热能力却越差。(4) 而结构上复杂的准晶体相似固态相的导热能力与准晶体接近。光传导性：(1) 相比于通常的金属物质，结构上完整的准晶物质在光传导特性上，就显得很是奇特，在比较低的频率范围里，准晶体的光传导效率很低，同时在104cm-1时又有很大范围的峰值。(2) 同时考察二维的准晶材料样品时，光传导效率率对自身在结构上的各向异性又敏感。1.2.2准晶的表面特性物质的表面特性与基体物质不一定相同。表面特性，其主要是由物质表层化学分子与原子排列堆积方式来决定。而准晶物质由于表层结构较为特殊，所以它的表面物质作用例如氧化作用，润湿现象，以及摩擦特性等都比较特殊。氧化
6、作用：现如今已经发现的准晶结构物质，很大的比例上是铝系准晶。由于Al是极容易发生氧化作用的活泼元素，所以，我们研究铝基准晶物质发生氧化作用的表层结构构成及其变化的规律，就显得意义重大。实验研究发现，在同样的条件下，准晶物质表面的氧化作用明显的小于铝合金与相似构成成分的晶体物质。长期暴露于室温下的干燥空气中的准晶物质，表层氧化的平均厚度约为2030埃。但是才高温于潮湿空气中，氧化的厚度还要近一步的加深（厚度可达到为6070埃），同时化学构成成分也发生而改变，表面氧化层铝原子含量增大（可以达到90%）不粘性：准晶体材料物质的不粘特性性，本质上就是热力学范畴中的润湿性问题，同准晶物质的表面能相关。在
7、最新的研究中发现，准晶材料最外层的原子是没有重构现象的，同时准晶体在费米能级上的电子态密度是很低的，这是造成准晶表面能相对较低的主要因素。摩损特性：准晶物质的磨损现象的研究开始的是比较早的，这主要是由为表面镀膜与热喷漆技术的快速发展，给探究较为致密的准晶膜亦或表面镀层的各种特性功能提供了必要的条件。实验条件相同的环境下，固体Al-Cu-Fe准晶材料和其表面的准晶涂层的显微硬度与摩擦因子大体接近，但是准晶的显微硬度却是比铝合金大了一个数量级，不过摩擦系数却仅为铝合金的三分之一。同时，当我们针对准晶物质做来回的摩损实验时，它的摩擦系数是会逐渐降低的，特别的是它的磨痕上的微小的裂纹还会自动还原愈合。
8、这反映出了准周期结构晶体具有一定的应力塑造性能。2马德隆常数马德隆常数a是以参考离子为原点的，其计算关系为a(1)(1)式中，r.是第i个离子和到参考点的距离；R表示在离子晶体中两个最近邻不同号i离子的距离乩訂。当第i个离子与参考离子所带电荷同号时取正值，异号时取负值。透射电子显微镜下的电子衍射图样以及高分辨率成像仪则展示了准晶体在行和列以及网格的晶格特征，彭志忠教授通过研究这些衍射图样的特征，给出了准晶材料的分数维模式模型，同时还对含五次对称的准晶体的准晶体格子进行了推导，结果揭示出了五次对称准晶体的水平移动向量正好是黄金分割中值的整数幕，同时准晶体的行列点阵排列恰好与斐波那契序列相吻合，即
9、就是：XYXxyXYXXYXXYXYXXYXYXYXXYXYJXXXYYXYXXYXYXXXXYXYX列中X，Y分别代表两个水平移动周期，X/Y=1.618（黄金中值）。傅秀军、刘有延等人通过严格的高维投影法构建了包括一维斐波那契准晶模型（FC（1）和3互生长模型(FC(2)在内的一类准晶链模型。高维投影法就是在高维建立一个普通的具有平移对称性的晶格，然后按照一定的规则用投影法在三维或二维得到具有五重对称的晶格。在投影的过程中，同时就得到准晶的衍射图样。互生长模型即在构建的准晶链中含有两种原子，且这两种原子呈交替周期性排列。他们称之为斐波那契类准晶5(记为FC(n),这里n表示构成准晶链的原子
10、种类数。通过模型揭示出了准晶体的许多重要物理特性。准晶材料自从被科学家发现以来，它众多的特殊的物理性质就被科学家尤其是固体物理工作者广泛的研究。研究发现一维斐波那契准晶体的电子能谱是套层结构的，具有严格意义的自相似性质，而这恰恰是由电子能级的套层结构决定的。马德隆常数是离子晶体的一个重要特征参数。考察正负离子都是单价的离子晶体,一个晶体原胞的平均库仑能为:u=工q2(i)ni+nnnn4ks(n2r2+n2r2+n2r2)1220123(2)q2：q2(1)+n2+n34k80rn2+n2+n20nin2n3123aq2其中:(一1)+n2+n3(n2+n2+n2)n1n2n3123土1二一r
11、厶(3)式中，r表示的是第i个离子和参考离子之间的距离，r表示离子晶体晶体中两个最近邻正负离子的距离。容易验证，与当考察离子与参考离子同号时，n+n+n123为偶数；当考察离子与参考离子异号时，n+n+n为奇数。通过等量关系，我们123很容易知道，当第i考察个离子与参考离子电荷为同号时取正值，而异号时自然就取负值。这是一无量纲的纯数值，完全是由晶体的自身结构来决定的，称为马德隆常数。一旦得知马德隆常数就能计算晶格能和表面能等，因此它在离子晶体的理论研究和科学实验中占有十分重要的地位。人们尝试用不同方法计算了各种晶体的马德隆常数，但对准晶态结构的马德隆常数涉及较少。3维准晶体马德隆常数一般来讲，
12、准晶体材料大多由金属合金组成，而金属键中含有离子键成分，因此，对准晶态马德隆常数的计算对探究准晶体内部结合能等内容来说都是有意义的。斐波那契类准晶模型，即FC（n）的准周期链可以采用间接投影法得到，其中各个原子的位置到参考点的距离可以表示为：.1ir=i+inn其中X表示取最大整数，也表示投影角，为原子序数。也满足:(5)1P二一nGn申为方程：x2-nx-1二0的正根。利用此方法可以得到准晶链。n另外，可以按照斐波那契类准晶的生成规则：BTBn-1A,ATBn-1AB得到准晶链，两种方式得到的准晶链是一致的7，皆为:S=B,S=Bn-iA,S=（Bn-1A）（Bn-1A）（Bn-1A）Bn-
13、iAB,（6）S=SnS（n3）hh-1h-2式中h为FC（n）的代数。由于准周期链的性质主要取决于各种单元线段（相当于准晶的“原子”）的排布序列，而不取决于单元线段的绝对大小，故为了研究问题方便我们对X，Y两种单元线段的长度进行归一化处理，使得二者的长度之比为：2:1。根据马德隆常数定义式（1），马德隆常数的关键是确定各个原子的位置到参考点的距离r。根据以上的准晶链建立规则，一维斐波那契点阵如图1所示。图中S、iL表示两种不同的原子，S、L表示两个最近邻同种原子的间距。图1一维斐波那契点阵由（4）、（5）两式得4i(n2+4+n)2(7)取i=1295,n=2,由（5）式求得p=2.4142
14、14,并代入（4）式求得r值（见附录ni表）。将附录表中r值代入（3）式，可计算出一维斐波那契点阵FC（2）的马德隆常数。例如取前10个r值时:r1010rrrr10123=-r(-0.663)=0.663r用exce1绘制出一维斐波那契点阵FC（2）的马德隆常数随i值的变化曲线（图2）从图2中可以看出，一维斐波那契点阵FC（2）的马德隆常数呈振荡式收敛，且收敛速度很快。这里将i取值很大是为了得到更加精准的收敛结果，从收敛曲线上可看出在i=50时，FC（2）点阵的马德隆常数已经收敛很好，最后的结果约为0.6633R。采用同样的方法，计算FC（3）点阵模型的马德隆常数，同样当取到i=50时，FC
15、（3）的马德隆常数也收敛很好，最后的结果为0.7114R。其随i的变化曲线与FC（2）相似，其收敛情况也与FC（2）相似。一维准周期链的马德隆常数是呈现振荡式收敛的，且收敛速度很快。无论是FC（2）点阵，还是FC（3）点阵的马德隆常数值都小于一维晶体的马德隆常数a=2ln2r=1.356r，说明准晶原子间的结合能要比同维数的晶体小。存在振荡证实了一维斐波那契准晶的电子能谱是套层结构。准晶体特殊的结构特点和对称性使得其内部的结合能和电子能谱等都与晶体有较大不同，在结构模型构造基础上对准晶体的研究，对未来准晶态材料的制备和利用都有很大帮助。图2维斐波那契准周期厂.链的马德隆常数收敛曲线i4结论通过对准晶体一维单原子FC(2),FC(3)点阵，二种斐波那契类准晶的马德隆常数的计算。可得出：1) 一维准周期结构晶体的马德隆常数是随着离子与参考点i的距离的增大而呈振荡式收敛的，可以看出收敛的速度很快，这种震荡收敛的趋势揭示了一维斐波那契类准晶体的电子能级是套层结构；2) 斐波那契准晶格的马德隆常数和晶体马德隆常数都是随着维数的增加而增大，但数值却比同维数晶体的要小很多，说明准晶原子间的结合能和晶体离子间的结合能同样随维数的增加而增大，而准晶原子间的结合能要比同维数的晶体离子间的结合能弱一些。此结论对于探查含不同种结合能的准晶体
