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1、第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程教学内容一元二次方程的概念、一般形式及一元二次方程根的概念.教学目标1.知识与技能:了解一元二次方程的概念;一般形式ax2+bx+c=0(a0)及其派生的概念;判定一个数是否是一元二次方程的根;应用一元二次方程概念解决一些简单题目.2.过程与方法:通过设置问题,建立数学模型,模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.提出问题,根据问题列出方程,化为一元二次方程的一般形式,列式求解;由解给出根的概念;再由根的概念判定一个数是否是根,同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题.教学重难点重点:一元二次方程的概念及其一般形式,并用这些概念解决问题.难点:通过提
2、出问题,建立一元二次方程的数学模型,推导出一元二次方程的概念.教学过程一、教师导学学生活动:列方程.问题(1)九章算术“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?”大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?如果假设门的高为x尺,那么,这个门的宽为尺,根据题意,得.整理、化简,得:.问题(2)有一面积为54m2的长方形,将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形,那么这个正方形的边长是多少?如果假设剪后的正方形边长为x,那么原来长方形长是,宽是,根据题意,得:.整理,得:.老师点评并分析如何建立一元二次方程的
3、数学模型,并整理.二、合作与探究学生活动:请口答下面问题.(1)上面两个方程整理后含有几个未知数?(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次?(3)有等号吗?或与以前多项式一样只有式子?老师点评:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2;(3)都有等号,是方程.因此,像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a0)后,其中ax2是
4、二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.提问:(1)问题(2)中一元二次方程的解是多少?(2)如果抛开实际问题,问题中还有其它解吗?老师点评:问题中,x=4是x2+7x-44=0的解.(3)如果抛开实际问题,问题中还有x=-11的解.为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别,我们称:一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.回过头来看:问题(2)中的x=-11的根不满足题意.因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.【例】将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一
5、次项系数及常数项.分析:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0).因此,方程(8-2x)(5-2x)=18必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等.解:去括号,得:40-16x-10x+4x2=18移项,得:2x2-13x+11=0其中二次项系数为2,一次项系数为-13,常数项为11.三、巩固练习教材P4练习1、2,习题21.13.四、能力展示求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.分析:要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+170即可.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1(m-4)20(m-4)2+10,即(m-4)2+10不论m取何值,该方程都是一元二次方程.五、总结提升(学生总结,老师点评)本节课要掌握:(1)一元二次方程的概念、一般形式ax2+bx+c=0(a0)和二次项、二次项系数,一次项、一次项系数,常数项的概念及其它们的运用.(2)一元二次方程根的概念及它与以前所学方程的解的相同处与不同处;(3)要会判断一个数是否是一元二次方程的根;(4)要会用一些方法求一元二次方程的根.六、布置作业教材P4习题21.11、2、3、4、5、6、7.
