初中数学专题辅导1

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1、初中数学专题辅导一 应用方程处理问题在进入了二十一世纪的今天，世界的高科技迅猛发展，带动了各学科的发展，数学也是一样，特别是计算机的应用，给数的发展助以强大的动力。在这种情况下，数学教育更加重视提高人的素质，强调了加强应用意识，发展创造能力，这是教育中带有方向性的问题。 在中学数学里加强了问题解决的培养和训练，由一般性问题解决向开放性问题解决发展，因此列方程解应用题被人们更加重视起来。列方程解应用题的内容很丰富，列方程解应用题不仅要求能熟练地解方程，而且要求具有从实际问题中抽象出数量关系，并用代数式和方程将这种关系表达出来的能力。这就需要有较强的分析能力和综合能力。【考点解析】 例. 张清是运

2、输公司的经理，他接受了这样的运输任务：把第一仓库的50吨面粉和第二仓库的70吨面粉运往甲、乙两个面包加工厂，其中甲厂接收40吨面粉，乙厂接收80吨面粉。显然，张清是可以安排出很多运输方案的，考虑到厂家的利益，要使总的运费最省，如果1吨面粉的运输费用如表一所示，那么，张清应该怎样安排运输任务才能使总的运费最低？表一 分析：这是一个生产实际问题，在我们的日常生活中经常遇到，首先应把这个实际问题转化为数学问题。表二 解：假设张清安排的运输方案如表二，那么应满足下面的数量关系： 也就是说我们得到了有四个未知量，三个独立方程组成的四元一次方程组，因此，可以把分别用表示出来。 如果设总运费为N，那么有 所

3、以，只要取最大值40，总运费N取最小值670，也就是说，由第一仓库给甲厂运40吨面粉，给乙厂运10吨面粉，再由第二仓库给乙厂运70吨面粉，即完成了给定任务，还使总运费最省，共计670元。 点评：本题是2001年北京市海淀区数学中考说明当中的一道题，是一道数学应用问题。本题充分运用了方程的思想，用消元的方法把分别用表示出来，然后由的取值范围确定运费N的最小值。【例题分析】 例1 一件工作，由甲单独作需要24个小时，由乙单独做需要18个小时，现在先由甲单独作6个小时，剩下的部分由甲、乙合作，完成这件工作需要几小时？ 分析：若直接设元，则设完成这件工作需要x个小时，列方程解出x即可。若间接选元则可以

4、设甲、乙合作用了x个小时，则x6就是问题要求的未知量。 解法1：(直接设元)设完成这件工作共需x个小时，由已知甲先工作了6个小时，则甲、乙合作了(x6)个小时。设全部工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据题意列方程： 答：共需小时完成全部工作。 解法2：(间接设元)设甲先工作6小时后，甲、乙又合作x个小时，由题意，得： 整理得： 答：完成这件工作需小时。 小结：本题解法1和解法2表示了两种选元方法，一般地说，当直接选元比较难解时，可以采用间接选元的方法。 例2 一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1。如果这个三位数的百位上的数字和个位上的

5、数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99。求原来的三位数。 分析：这个问题如果直接选元，很难列出方程，所以适合间接选元。因为百位上的数和个位上的数都和十位上的数直接发生联系，故可选十位上的数为元。 解：设原来的三位数的十位上的数为x，则它的百位上的数为2x1，个位上的数为3x1，这个三位数表示为： 100(2x1)10x(3x1) 把这个三位数百位上的数字和个位上的数字对调后得到： 100(3x1)10x(2x1) 根据题意，得方程： 100(3x1)10x(2x1)100(2x1)10x(3x1)99 解这个方程，得： 99x19899 答：原来这个三位数是738。 例3 一轮船从一号

6、桥逆水开往二号桥，开过2号桥20分钟以后到达A处，发现在二号桥处失落一根圆木，船即返回追圆木，结果在一号桥追上。已知两桥相距2公里，求水流速度。 分析：这个题需要设辅助未知数来解决。因为题目只给了开过二号桥20分钟和两桥间相距2公里。如果只设水流速度为每分钟x公里是列不出方程的。这就需要设船速为辅助未知数，以建立等量关系列出方程。 解：设船速为每分钟a公里，水流速度为每分钟x公里，依题意列方程： 经检验知是原方程的解，并且符合题意。 答：水流速度为每分钟0.05公里。 例4 已知盐水若干升，第一次加入一定量的水后，盐水的浓度变为3；第二次又加入同样多的水后，盐水的浓度变为2，求第三次加入同样多

7、的水后盐水的浓度。 解：本题需设辅助未知数。设原有盐水a升，每次加入水量是b升，且设第三次加入水后，盐水浓度为x，依题意列方程组： 由(1)得： 得ab 代入(2)得： 答：第三次再加入同样多的水后，盐水浓度为1.5。 小结：例3和例4都要把辅助未知数消去，简称消去参数。【模拟试题】 1. 一件工作甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，现在甲先做3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？ 2. 甲乙两地相距12千米，小张从甲地到乙地，在乙地停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地，已知两人同时分别从甲、乙两地出发，经过4小时后，他

8、们在返回的途中相遇，如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度。 3. 有某种农药一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升，再用水补满，于是测得桶中农药与水的比为18：7，求桶的容积。 4. 小船航行于内河的A、B两个码头之间逆流而上需要航行6小时，已知小船在静水中航行AB这段路程比顺流而下要多用1小时，求小船顺流而下航行所需时间。 5. 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲走10米后两人第一次相遇，然后甲继续向前走到B处立即返回，乙继续向前走到A处立即返回，在距离B点6米处二人第二次相遇，问A、B两地相距多少米？ 6. 某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100公里。团

9、体中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速8公里，汽车时速40公里。问要使大家在下午4点钟同时到达乙地，必须在什么时候出发？ 7. 某县农机厂金工车间共86个工人，已知每个工人平均可加工甲种部件15个，或乙种部件12个，或丙种部件9个，问应安排加工甲种部件、乙种部件和丙种部件各多少人，才能使加工后的3个甲种部件、2个乙种部件和1个丙种部件恰好配套。 8. 一支队伍以a公里/小时的速度前进，一名通讯员要传送命令，从排头走到排尾，再回到排头，此时队伍进行的路程正好等于队伍的长度，求通讯员的速度。【疑难解答】 A. 教师自己设计问题：

10、 1. 解答题的第6小题的问题实质是什么？ 2. 解答题的第7小题能不能用两种方法来解？ 3. 解答题的第8小题怎样设辅助未知数？ B. 对问题的解答： 1. 答：这个问题实质上要求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时。注意到先坐车的人和先步行后坐车的人所用的时间总量是相等的，利用这个等量关系可以列方程。 解：设先坐车的一部分人下车地点距甲地x公里，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距y公里。如图所示：(从甲地到乙地100公里) 汽车走(xy)公里的时间与先步行后乘车的那一部分人从甲地走到上车点所用的时间相等，列出方程为： 先乘车后步行的一部分人从下车点到终点步行所用的时间等于

11、汽车从下车点返回接另一部分人到终点所用的时间，得出方程为： 解方程组 答：要使大家下午4点钟同时到达目的地，必须在中午11点出发。 2. 答：本题若用方程组解，设安排加工甲种部件需x人，乙种部件需y人，丙种部件需z人能使加工的三种部件按要求配套。根据等量关系列方程组： 设加工后的丙种部件有x个，那么甲种部件有3x个，乙种部件有2x个。根据题意列方程： 以上两种解法，第一种方法直接设元，第二种方法是间接设元。 3. 答：分析：本题的已知量仅有a公里/小时，未知量仅有通讯员的速度，必须设辅助未知量，设队伍的长度为公里，通讯员的速度为x公里/小时。 根据题意得方程： 解得：试题答案 1. 设整个工作

12、量是1，乙还需x天完成。 列方程 2. 设小张速度是x千米/小时，小王速度是y千米/小时。 列方程组： 3. 设桶的容积为x升。 列方程 答：x40升。 4. 小船顺流而下需航行x小时，小船在静水中速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时。 列方程组 5. 设两地相距为x米 则。 6、7、8题见疑难解答。二 用辩证思维解题数学世界丰富多彩，又充满矛盾，渗透着辩证法。解题时不妨进行辩证思维，这样可以激活求知的欲望，培养思维的品质，给解题带来耳目一新的感觉。一、顺向与逆向 例1. 求的值。 解析：顺向与逆向是对立的，囿于顺向思维有时会给解题平添难度。 原式 二、常量与变量 例2. 如图，已知正比

13、例函数和的图像与反比例函数的图像在第一象限内分别交于A、B两点，过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D。设和的面积分别为和，则与的大小关系是（ ） 不确定的 解析：由可得。很显然，若点是函数图像上的任意一点，过P作轴于Q，则的面积是一个常量，都等于，与点P在图像上的位置无关。所以，选B答案。三、直接与间接 例3. 有一片牧场，假设草每天都在匀速生长（草每天增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；若放牧21头牛，则8天吃完牧草，如果每头牛每天吃草的量是相等的。问： （1）要使牧草永远吃不完，最多放牧几头牛？ （2）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ 解析：草生长与牛吃草是一组反向的量，

14、我们可把草生长的速度和牛吃草的速度分别看作是水流速度和船速。由，可得草减少的速度。 （1）设草的总量为S，每天生长的速度为，每头牛每天吃草量为，则 由(1)(2)得，即草的生长量等于12头牛每天的吃草量，所以最多放牧12头牛，使牧草永远吃不完。 （2）由（1）知，则 故放牧16头牛18天可以吃完草。四、整体与局部 例4. 若，且有及，则的值是_。 解析：若按常规方法，先求出a、b的值，再求出的值，则十分繁琐，而将化为，利用所给的两个方程，此题就迎刃而解了。 （显然不是方程的解） 故a与都是方程的根，但，由，得a与是此方程的两相异实根，从而，即此题应填。五、一般与特殊 例5. 在中，于D，于F，AD与CF相交于G，且，则_度。 解析：本题看起来似乎无所下手，若将“特殊”为，则D、F与B重合，这样问题就简单化了，可得六、正面与反面 例6. 老师在黑板上写下这样一道题：“已知的面积，周长，求它的内切圆半径”。很多同学很快求出内切圆的半径为3，惟独小明认为该题的已知条件不合时，压根就不存在符合