线性代数主要内容与方法

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1、工程数学主要内容与方法问答题集锦辽宁工学院应用数学教研室 编二OO五年四月I=F为帮助学生更好地掌握工程数学（包括线性代数、概率论与数理统计） 的主要内容与方法，根据我们多年的教学经验，总结编写了这本工程数学主要 内容与方法问答题集锦，希望它能在学生的学习中起到答疑解惑的作用。本书线性代数部分是按照同济大学应用数学系编写的线性代数 （第四 版）的章节顺序编写；概率论与数理统计部分是按照浙江大学盛骤等编写的概 率论与数理统计（第三版）的章节顺序编写。编者按篇章次序分别为：线性代数部分，第一、二章由阚永志编写，第三、四章由王贺元编写，第 五章由石月岩编写；概率论与数理统计部分，第一章由朱振广编写，

2、第二、三章由徐洪香编写 第四、五章由刘秀娟编写，第六、七、八章由徐美进编写；全书由石月岩统稿， 佟绍成教授主审。在本书的编写中得到辽宁工学院数理科学系的领导和老师的大力支持与帮 助，在此表示衷心的感谢。限于编者水平，加之编写时间仓促，书中不妥和疏漏之处在所难免，敬请读 者批评指正。编者2005 年 4 月于辽宁工学院目录线性代数部分I .线性代数的研究对象是什么？ （1）II. 线性代数的主要内容有哪些？ （1）第一章行列式（1）1. 余子式与代数余子式有什么特点？它们之间有什么联系？（1）2行列式有哪些性质？ （1）3. 对角线法则对四阶以上的行列式是否成立？ （1）4. 计算行列式通常采用

3、的方法是什么？ （2）5. 克莱姆法则的适用条件是什么？ （2）第二章 矩阵及其运算 （2）1. 为什么要学习矩阵？ （2）2. 什么是矩阵的代数运算？什么是矩阵的运算系统？ （2）3. 为什么矩阵乘法不满足交换律？ （3）4. 矩阵运算系统与我们熟悉的实数运算系统的本质区别是什么？ （3）5. 矩阵与行列式有什么区别与联系？ （3）6. 判断矩阵可逆的常用方法有哪些？ （4）7. 什么是伴随矩阵？它有哪些主要性质？ （4）8. 求方阵A的高次幕有哪些常用的方法？ （4）9. 怎样解矩阵方程？ （5）10. 什么是分块矩阵，为什么要对矩阵进行分块？ （5）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 （

4、5）1一个非零矩阵的行最简形与行阶梯形有什么区别和联系？ （5）2. 在求解有关矩阵的问题时，何时只须化为阶梯形，何时宜化为行最简形？或者，它们在功能上有什么不同？ （6）3. 矩阵的初等变换与初等矩阵有什么关系？引入初等矩阵有什么意义？（6）4初等变换有哪些应用？ （7）5. 求一个可逆矩阵的逆矩阵有哪些常用的方法？ （7）6. n阶矩阵A是可逆矩阵的特征刻画有哪些？ （7）7. 用初等行变换法求解线性方程组的主要步骤是什么？ （8）8在求解带参数的线性方程组时，对系数矩阵或增广矩阵作初等行变换应注意些什么？ (8)9. 在求解线性方程组的通解时，常与教材中给出的答案不一致，这是否可以？(8

5、)第四章 向量组的线性相关性 (9)1. 线性相关与线性表示这两个概念有什么区别和联系？ (9)2. 对于向量组的线性相关、线性无关的概念，能否给出一些几何上的解释？(9)3. 两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联系？ (10)4. 矩阵的初等行(列)变换有哪些？它有什么重要应用？ (10)5. 向量组的最大无关组有什么重要意义？ (10)6. 求向量组的最大无关组有哪些方法？ (11)7. 证明或判断一个向量组线性相关或线性无关的常用方法有哪些？ (11)8. 求矩阵的秩有几种方法？ (11)9. 矩阵的秩有哪些重要性质？ (12)10. 矩阵的秩有哪些主要应用？ (12)11.

6、如何求齐次线性方程组的基础解系？ (12)12. 齐次线性方程组Ax = 0的通解结构是什么？ (13)13. 非齐次线性方程组Ax = b的通解结构是什么？ (14)第五章相似矩阵及二次型(15)1. 向量正交变换的几何意义是什么？ (15)2. 矩阵的特征值有哪些主要性质？ (15)3如何求方阵A的特征值与特征向量？ (15)4. 相似矩阵有哪些主要性质？ (15)5. n阶矩阵A可相似对角化的充分必要条件是什么？ (16)6. 判断矩阵A是否可对角化的基本方法有哪些？ (16)7方阵可相似对角化有什么意义？ (16)8. 实对称矩阵的特征值与特征向量有哪些性质？ (16)9. 已知n阶方

7、阵A可对角化，如何求可逆矩阵P,使得P-1AP = diag(九,九，,九)?12 n(17)10. 实对称矩阵正交相似对角化的步骤是什么？ (17)11. 化实二次型f = xTAx为标准形的常用方法有哪些？ (17)12. 用正交变换化二次型f = xTAx为标准形的主要步骤是什么？ (17)13. 如何判别二次型f = xTAx的正定性？ (18)概率论与数理统计部分I .概率论与数理统计研究的对象是什么？ (19)II. 概率论与数理统计研究的主要内容是什么？ (19)III. 概率论与数理统计的主要任务是什么？ (19)第一章概率论的基本概念(19)1. 随机事件的本质是什么？ (1

8、9)2. 为什么把随机事件定义成样本空间的子集？ (19)3. 事件之间有几种关系？ (19)4事件间有几种运算？ (19)5. 概率是什么？ (20)6. 概率的古典定义、几何定义、统计定义和公理化定义有什么联系？ (20)7随机事件有两次抽象，指的是什么？其意义何在？ (20)8. 什么是古典概型？如何计算古典概型中事件的概率？ (21)9. 计算概率的常用公式有哪些？ (21)10. 什么是n重贝努利试验，计算有关事件概率的方法是什么？ (22)11. 如何使用全概率公式和贝叶斯公式？ (22)12. 对立事件与互斥事件有何联系与区别？ (23)13. 在实际应用中，如何判断两事件的独立

9、性？ (23)14. 两事件A, B相互独立与A, B互不相容(互斥)这两个概念有何关系？ (23)15概率为0的事件与“不可能事件”有何区别？有何关系？ (24)16. 什么是“1概事件”？ “ 1概事件”与“必然事件”的关系如何？ (24)17. 什么是“实际推断原理”？它有什么作用？它与小概率事件有什么关系？ (24)第二章随机变量及其分布(24)1. 为什么要引入随机变量？ (24)2. 引入随机变量的分布函数有哪些作用？ (25)3. 概率密度函数有哪些性质？ (25)4. 对于概率密度f (x)的不连续点，如何从分布函数F(x)求得f (x) ？ (25)5. 为什么说正态分布是概

10、率论中最重要的分布？ (26)6. 常见随机变量的概率分布有哪些？ (26)第三章多维随机变量及其分布(28)1 如何判定一个二元函数是某个随机变量(X, Y)的概率密度？ (28)2. 边缘分布与联合分布的关系如何？ (28)V3由相互独立的随机变量构成的多维随机变量，它们的联合分布与边缘分布有何关系？ （28）4. 如何由联合分布确定两个边缘分布？ （29）5. 怎样判别随机变量X与Y相互独立？ （29）6. 相互独立的正态随机变量的线性组合是否仍为正态随机变量？ （29）第四章随机变量的数字特征（30）1. 随机变量的数字特征有哪些？ （30）2. 随机变量的分布与数字特征有何关系？ （

11、30）3. 随机变量的数学期望和方差，在随机变量的研究和实际应用中，有何重要意义？（304. 数学期望有哪些性质？ （30）5方差有哪些性质？ （31）6. 常用分布的期望、方差是什么？ （31）7. 相关系数pXY反映随机变量X和Y的什么特性？ （31）8. 独立性与不相关有何关系？ （32）第五章 大数定律及中心极限定理（32）1. 大数定律说明什么问题？ （32）2. 中心极限定理的意义是什么？ （32）第六章 样本及扌由样分布（33）1. 什么是统计量？为什么要引进统计量？ （33）2. 常用的统计量有哪些？ （33）3. 正态总体的某些常用抽样分布有哪些？ （33）4. 咒2分布、t

12、分布、F分布及正态分布之间有哪些常见的关系？ （34）第七章参数估计（34）1. 常用的点估计方法有哪几种？ （34）2. 矩估计法的步骤是什么？ （35）3. 极大似然估计法的步骤是什么？ （35）4. 未知参数的点估计和区间估计有何异同？ （35）5. 用矩估计法和极大似然估计法所得的估计是否是一样的？ （35）6. 评价估计量好坏的常用标准是什么？ （36）第八章假设检验（36）1. 假设检验的依据是什么？ （36）2. 假设检验可能产生的两类错误是什么？ （36）3. 假设检验的一般步骤是什么？ （36）线性代数主要内容与方法问答题集锦（部分内容）I. 线性代数研究的对象是什么？ 答：

13、线性代数是数学的一门重要课程，它主要讨论矩阵理论，并以矩阵理论为工具研究有限维向量空间和线性变换理论。II. 线性代数的主要内容有哪些？ 答：主要内容包括：行列式，矩阵及其运算，矩阵的初等变换与线性方程组，向量组的线性相关性，相似矩阵及二次型，*线性空间与线性变换。第一章 行列式1余子式与代数余子式有什么特点？它们之间有什么联系？答：在n阶行列式D二det（a ）中，元素a的余子式是把D中第i行和第j列划去后留ijij下来的n -1阶行列式，实质上它还是表示一个数，并且元素a的余子式M 和代数余子式ijijA仅与位置（i, j）有关，而与元素a的数值大小和正负无关。它们之间的联系是ijijA

14、= （-1）MM .因此，当i + j为偶数时，A = M ；当i + j为奇数时，A =-M .ijijijijijij2行列式有哪些性质？答： 行列式的性质有： 行列式与它的转置行列式相等。 互换行列式的两行（列），行列式变号。 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式；或者， 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式记号的外面。 行列式中如果有两行（列）的元素成比例，则此行列式等于零。 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可拆成两个行列式的和， 这两个行列式分别以这两组数作为行（列），其余各行（列）与原行列式相同。 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上 去，行列式不变。 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。4计算行列式通常采用的方法是什么？答：计算行列式通常采用的方法有 对于二阶与三阶行列式可以用对角线法则； 对于特殊的行列式可采用行列式的定义去求； 利用行列式的性