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1、利用递推关系式求数列的通项公式数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1. 根据以下数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1,3,7,15,31,2、2,6,12,20,30,3、4、1,-1,1,-15、1、0、1、0二、公式法利用等差数列或等比数列的定义求通项假设数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2数列的前项和满足，求数列的通项公式.等比数列的首项，公
2、比，设数列的通项为，求数列的通项公式。三、归纳猜测法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜测出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜测出规律，然后正面证明。例3.2002年北京春季高考点的序列，其中，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，（1） 写出与之间的关系式。（2） 设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。四、累加乘法对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加或相乘即可得到通项公式。例4. 假设在数列中，求通项。变式1：数列满足，求数列的通项公式。变式2.数列中, 且,求数
3、列的通项公式.例5.在数列中，求通项。变式3：设是首项为1的正项数列，且=1，2， 3，那么它的通项公式是=_.五、取倒对数法a、这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解b、数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出c、解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例6.设数列满足求例7 、 设正项数列满足，n2.求数列的通项公式.六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.例8、设a 0为常数，且a n3 n -12 a n -1n为正整数证明对任意n1 ， a n 3 n1n -12 n 1n 2 n a 0七、待定系数法：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给
4、定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列等差或等比数列来求解，该方法表达了数学中化未知为的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。例9数列中，求数列的通项公式。例10数列满足，求数列的通项公式。例11 数列满足，求数列的通项公式。例12. 在数列中，,求通项.待定系数法八：特征根法。1、设数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程那么当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.2.对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。假设是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定即把和，代入
5、，得到关于A、B的方程组；当时，数列的通项为，其中A，B由决定即把和，代入，得到关于A、B的方程组。例13：数列满足，求数列的通项公式。九：不动点法，形如解法：如果数列满足以下条件：的值且对于，都有其中p、q、r、h均为常数，且，那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,那么是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，那么是等比数列。例14设数列满足,求数列的通项公式.十：逐项相减法：递推公式中既有，又有 分析：把关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。例15 数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。十一。双数列解法：根据所给两个数列递推公式的关系
6、，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例16. 数列中，；数列中，。当时，,，求,.十二、周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例17：假设数列满足，假设，那么的值为_。变式:2005，湖南,文，5数列满足，那么= A0BCD变式.在数列中，2021年秋季高二A数学131004第四讲课后作业本试卷共18题，时间60分钟，总分值100分班级： 姓名： 一填空选择题每题10分1.数列的首项为1，且那么数列的通项公式为.2.数列满足，那么此数列的通项公式为.,那么数列的通项公式为.数列中，那么数列的通项公式为。5.数列中，假设,且满足,求. 数列中，n2，那么数列的通项公式为。 .数列满足，
7、那么= A0BCD. 数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.I求a3, a5；II求 an的通项公式.设为常数，且证明对任意1，；10.数列中，；数列中，。当时，,，求,.2021年秋季高二A数学131004第四讲利用递推关系式求数列的通项公式数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1根据以下数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1,3,7,15,31,2
8、、1,2,3,5,8,13,3、4、1,-1,1,-15、1、0、1、0二、公式法利用等差数列或等比数列的定义求通项假设数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2数列的前项和满足，求数列的通项公式.等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。解析：a1=1, an=2n;由题意，又是等比数列，公比为，故数列是等比数列， 三、归纳猜测法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜测出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜测出规律，然后正面证明。例3.2002年北京春季高考点的序列，其中，是线段的中
9、点，是线段的中点，是线段的中点，（3） 写出与之间的关系式。（4） 设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。解析：1 是线段的中点， 2，=，=，猜测，下面用数学归纳法证明 当n=1时，显然成立； 假设n=k时命题成立，即 那么n=k+1时，= = 当n=k+1时命题也成立， 命题对任意都成立。四、累加乘法对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加或相乘即可得到通项公式。例4. 假设在数列中，求通项。解析：由得，所以，将以上各式相加得：，又所以 =变式1：数列满足，求数列的通项公式。解法一：由得那么所以解法二：两边除以，得，那么，故
10、因此，那么变式2.数列中, 且,求数列的通项公式.解:由得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,那么此题也可以用数学归纳法来求解.例5. 在数列中，求通项。解析：由，又，所以=变式3：设是首项为1的正项数列，且=1，2， 3，那么它的通项公式是=_.解：等式可化为：()(n+1), 即；时，=.五、取倒对数法a、这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解b、数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出c、解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例6.设数列满足求解：原条件变形为两边同乘以得.例7 、 设正项数列满足，n2.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设，那么
11、 是以2为公比的等比数列，.， 六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.例8、2003高考广东设a 0为常数，且a n3 n -12 a n -1n为正整数证明对任意n1 ， a n 3 n1n -12 n 1n 2 n a 0证明： a n3 n -12 a n -13 n -123 n -22 a n -2 3 n -123 n -22 23 n -32 a n -3 3 n -123 n -22 2 3 n -32 33 n -42 a n -4 3 n -123 n -22 23 n 3 1n -12 n -11n 2 n a 01n 2 n a 0 前面的n项组成首项为3
12、n -1，公比为的等比数列，这n项的和为： 3 n1n -12 n /5 a n 3 n1n -12 n /51n 2 n a 0七、待定系数法：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列等差或等比数列来求解，该方法表达了数学中化未知为的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。例9数列中，求数列的通项公式。解法一： 又是首项为2，公比为2的等比数列 ，即解法二： 两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的例10数列满足，求数列的通项公式。解法一待定系数法：设，比拟系数得，那么数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二两边同除以： 两边同时除以得：，下面解法略解法三两边同除以： 两边同时除以得：，下面解法略
