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1、本科生毕业论文设计题 目势阱中粒子运动状态的研究 目 录中文摘要2外文摘要3引言41一维无限深势阱42一维半无限深势阱72.1模型17 2.2模型2103一维有限深势阱123.1势阱外133.2势阱13 3.2.1偶宇称态14 3.2.2奇宇称态144总结15参考文献17致18势阱中粒子运动状态的研究06物理 董贤宝 指导教师 马堃学院信息工程学院, 245041摘要：本文将对粒子在一维势阱中的行为进行系统的研究。具体地,将针对不同位置的一维有限深、无限深势阱对应薛定谔方程的解法进行探讨,并对以上势阱中的粒子运动行为进行研究,总结出不同势阱对粒子运动行为的影响。得知一维无限深势阱是一维半无限深
2、势阱的特例,而一维半无限深势阱是一维有限深势阱的特例。所以我们只要掌握了一维有限深势阱的情况,那么对于一维半无限深势阱和一维无限深势阱的情况,就很容易了解了。关键词：势阱,波函数,能量Potential well in the state of particle motionPhysics 06 DongxianbaoDirector：Ma KunAbstract:The behavior of the particle which in one-dimensional potential well has been studied in this paper. Correspondsto t
3、he solution of the Schrodinger equation gave been given. Then the infection of potential well to the behavior of the particle been summarized at last. We know that one dimensional infinite potential well is one-dimensional semi-infinite well of the special case and one-dimensional semi-infinite one-
4、dimensional potential well is a special case of finite potential well. Once we have only a limited grasp of the one-dimensional potential well of the situation.Then we can clearly understand one-dimensional semi-infinite well and the one-dimensional infinite well case.Key Words:Potential well,Wave f
5、unction,Energy引言量子力学最基本的任务就是求解薛定谔方程,而薛定谔方程的求解的难易主要取决与势函数的形式,目前可以精确求解的薛定谔方程很少,这主要是由于具体问题中的势函数所带来的计算困难。目前,国外初等量子力学教材中1-3,都普遍地将一维无限深势阱模型作为可以精确求解的一个例子。然而,教材中多以单个模型势阱进行了讲解,没有扩展到一般的情况。近年,在教学和科研方面,也有不少学者针对这一问题进行了研究4-10,20XX,敏等4通过作图研究了一维无限深势阱中引入势垒后的能级变化情况,随着双势阱的垒高不断增大,相邻的奇宇称能级与偶宇称能级逐渐接近,当势垒高度趋于无穷大时,二者相等,能级由
6、原来的非简并变成了简并；20XX,梁麦林等5对无限深势阱中自旋为0和1/2的相对论粒子进行了研究,分别计算了坐标、动量以及速度算符的矩阵元；同年,徐建良等利用数值计算的方法,研究了一维对称双势阱的透射系数与势阱的深度、两势阱间距以及入射粒子能量之间的变化规律,并分析产生共振透射的条件；20XX,建武6用数值计算方法求出了一维有限深不对称方势阱中束缚粒子的能级和归一化波函数及其图示,所得结果在势阱深度趋于无穷大时与无限深势阱的结果一致；20XX,柏林7使用Matlab软件求解了一维半无限深势阱问题,得到相应的能级表达式。本文将对粒子在一维势阱中的行为进行系统的研究,具体地将针对不同位置的一维有限
7、深、无限深势阱对应薛定谔方程的解法进行研究,并对以上势阱中的粒子运动行为进行研究,总结出不同势阱对粒子运动行为的影响。从研究结果发现,对于无限深势阱中的粒子是无法越出势阱的,即粒子在势阱外的概率为0。对与半无限深势阱中粒子也只能越出一边。其运动情况具有一定规律性。一 一维无限深势阱质量为的粒子在一维无限深势阱,其势能函数可以表示为1图1一维无限深势阱在势阱边界处,粒子要受到无限大、指向阱的力,表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概率为0。因此粒子只能被限制在阱运动,在势阱,一维定态薛定谔方程就退化为一个简单的二阶常系数齐次线性常微分方程,即 2可以方便地得到这个方程的解, 3其中,是归一化常
8、数,需要通过边界条件来确定,即 4所以可得,再根据归一化条件 可得 质量为的粒子在一维无限深势阱中的波函数为 5再根据及可得,质量为的粒子在一维无限深势阱中的能量为, 6下面我们对这个解进行讨论 粒子能量不能取连续值,因此我们可以由,得,从结果可以清楚的看出：能量取分立值,所以能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。 粒子的最小能量不等于零最小能量 我们把最小能量也称为基态能或零点能。 当很小时,粒子在势阱出现概率密度分布不满足经典粒子分布规律,当很大时,粒子在势阱出现概率密度分布满足经典粒子分布规律,下图是我们借助Mathematica软件绘制出的一维无限深势阱中粒子的波函数分布图以及粒子
9、在势阱中出现的概率分布图势阱中波函数分布势阱中粒子概率分布二 一维半无限深势阱2.1 模型1质量为的粒子在一维半无限深势阱,图2一维半无限深势阱其势能函数可以表示为 7下面我们将分区间讨论在各个区间的薛定谔方程的解1 在时,薛定谔方程为 8由于在处,所以有 9两边作变换,得令 10从而可得方程的通解为在根据边界条件 得 即 则,上式可进一步简化为 112 在时,于是有 12作变换得令 13则 14由波函数的连续性条件,可知即 15令,16将16式代入15式得到 17同时结合10、13和16式得到和满足的超越代数方程组 18到这里我们知道式17与18是与满足的超越代数方程组,可用数值计算求解,或
10、用图解法近似的求解。我们这里采用图解法来求解：根据式15得到： 19为了使图解法变得简洁一点我们再次对式19进行变形： 20式中 20式也是超越方程,画出图如下图所示,图中直线与曲线在的第二和四象限的交点,所对应的,值,按,即可算出相应的能级-一维半无限深势阱模型1能级图解图2.2 模型2图3一维半无限深势阱质量为的粒子在一维半无限深势阱,其势能函数可以表示为 21下面我们将分区间讨论在各个区间的薛定谔方程的解1 在时,薛定谔方程为变形该方程得 22令 23得到 24 2 在时,薛定谔方程为 25现在令 26将26代入式25得到 27得到 28由于在时,波函数,则,即所以有所以波函数可写成 29由波函数的连续性条件,并求导得到 30解得 31令, 32将32式代入31得 33同时结合23、26和
