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1、函数的应用教学设计一、教材分析：本节课所用教材为北师大版必修一，内容为第四章函数的应用。本章通过学习函数的零点和用二分法求方程近似解的的方法， 使学生体会函数与方程之间的关系， 通过一些函数模型的实例， 让学生感受建立函数模型的过程和方法， 体会函数在数学和其他学科中的广泛应用， 进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型， 能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 .对函数与方程的关系的认识过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进地原则。函数与方程是初等数学的基础， 也是联结初等数学与高等数学的桥梁， 函数的零点是为了研究方程的根而产生的概念，它是方程的根在动态的函数视野下的名称。此外
2、，函数与方程还是中学数学重要思想方法之一。因此，本节课具有承前启后的作用。二、学情分析：学生在掌握了基本初等函数的图象和性质后， 对函数本身已非常熟悉， 但只停留在对函数本身的研究和掌握， 根据以往的学习经验知道建立函数模型在实际生活问题中应用，但对其作为工具来解决方程问题还比较陌生。本班是普通中学的普通班， 学生对二次函数的图象并不是那么得心应手， 所以在教学过程中还需要有些指导。 而对图形计算器的使用还在初始阶段， 对基本的操作有所了解， 能按部就班完成基本的作图和运算， 但对数据和图形的主动分析还有待提高。三、教学目标设置：1、 通过实际问题，感受指数函数的增长，增强函数的应用意识；2、
3、 通过历史的追溯，了解中外数学发展史上方程求解漫长而曲折的过程，感受数学文化；3、 理解函数零点的概念，能转化方程问题与函数问题，并选择适当的方法求函数的零点；4、 经历从特殊到一般的探究过程，掌握函数的零点与方程的根的关系；5、 借助信息技术的使用，增强解决数学问题的兴趣和能力。教学重点：本章知识的结构和逻辑关系及函数的零点教学难点：函数的图象作图及分析四、教学过程：引言：大家知道哲学的三大终极问题是： 我是谁？我从哪里来？我将要到那 里去？今天对于函数，我们同样文这三个问题：函数是什么？函数从哪里来？ 函数将能干什么？实际上，在我们前面第一张的学习中，我们已经明确函数的概 念，也就是“函数
4、是什么？ ；第二章研究的基本初等函数中指数函数和对数函 数等产生的背景就是函数的来源； 今天开始，我们反过来看函数去向哪里，能为 我们解决那些问题。这就是第三章函数的应用。(一)、实例发现：在开课之前看段视频，关于澳大利亚兔子入侵的灾难故事。这就是外来生物入侵带来的灾难。在短短 60年时间，兔子的数量从24只 增加到40亿只，这是一个急速的增长，想想我们能用哪个函数模型来刻画这张 增长剧烈的过程？一一指数函数。这就是我们所说的“指数爆炸”。十九世纪中期，兔子在澳大利亚的自然和生态条件都很适宜的条件下，迅速繁殖，数量激增,成为澳大利亚的灾难。经过大量数据测算，我们建立了当时兔子的种群数量y随时间
5、x变化的增长模型为:另外我们假设在此期间兔子的天敌的数量y随时间x的增长模型为:y=300x+100(1O假设若兔子数量大约是天敌数量的100倍时，则基本能够达到生物链中的理想平衡状态。 那么从兔 子进入澳大利亚开始，如果按照上述函数模型，不考虑其他自然和人为因素，问:(1)能否达到相对理想平衡状态？(2)如果能，大概需要多少年？分析问题的本质，是解决这个超越方程的根的问题。在本章里，我们将借 助函数建立数学模型，并通过函数来解决这个方程问题。【设计意图】让学生感受指数函数的爆炸式增长，能和一次函数从感知上比 较增长速度；在理解题意和寻求等量关系的过程中，体会数学的应用性。三个问 题分别针对方
6、程是否有根、有几个根、根是多少、以及不同增长的函数模型。【学生活动】通过独立思考，建立方程；借助图形计算器，求解方程，展示 方程的根。问题：x=17年的时候能够达到理想平衡状态，那之后呢？为什么主持人朱广 权还说是澳大利亚的灾难呢？这时候，方程欠我们一个动态的解释，我们寻求与 方程相对应的函数来解决。我们发现：方程的根是图象与x轴交点的横坐标。我们把使f(x)=0的实数x的值叫做y=f(x)的零点。(二)经验论证：完成下列表格，观察方程的根与函数图象有什么关系 ？方程x2-2x-3=0x2-2x+1 =0x2-2x+ 3=0函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函 数 的
7、图 象1y y xX1byxxd1y xxooo图象与x 轴的交点方程的 实根【设计意图】让学生在进一步熟悉二次函数图象的画法的基础上，观察发现方程的根与函数图像的关系。对一般的二次函数的图象及其与方程的联系作出更高效准确的要求，进一步体会函数与方程的联系【学生活动】积极完成表格，交流展示，迅速完善后探求结论。问题：对于一般的一元二次方程，上面表格中的对应关系成立吗？学生完成当A0, A=0, A 0时一元二次方程根和二次函数的零点的对应关系。结论：方程f(x)=0有实根薪端的图象与x轴有交点y=我有零点这其中，“方程有实根”，是从代数运算的角度，静态地描述；而“函数有 零点”，则是从几何直观
8、的角度，动态地描述。所以，我们掌握了这样的等级关 系之后，可以把方程问题和函数问题相互转化， 也可以把函数的零点与方程的根 紧密联系起来。这正是高中阶段两个重要的数学思想： 函数与方程思想；数形结 合思想。【设计意图】感知从特殊到一般的研究问题的方式； 选择合适的方法求函数 的零点，进一步巩固零点的概念和求法。并从等价关系中感受和提炼数学思想方 法。(三)学以致用例1、借助图形计算器求解并记录函数f=/+2/+ 1。冗-20的零点。【学生活动】分别有学生通过几何作图和代数解方程的方式求解零点。为了求函数的零点，我们解的这个方程可是非同一般，它是数学家斐波那契 挑战完成的一道宫廷数学竞赛题，当然
9、没有计算器，在当时的数学条件下进行到 小数点后面6位，成绩斐然。他的手动解法，将是我们下节课探索的问题。在数 学发展史上，方程的求解却却经历了漫长而艰辛的过程。我们可以通过一个简单 的视频来了解一下：播放中外历史上方程求解发展的解说视频视频中所提到的数学家们，都为数学发展和人类进步做出了巨大的贡献，再 来梳理定格一下：一次二次方程：花拉子米； 三次方程：塔尔塔利亚；四次方程：费拉里； 五次方程：拉格朗日猜想无公式解，阿贝尔证明了结论。当然这些过程都不是一帆风顺的。欧洲文艺复兴时期，数学活动也非常普遍 而且高大上。数学家们常常以竞赛和挑战的形式巩固自己的学术地位。而塔尔塔利亚和卡尔达诺还曾经为三
10、次方程解法的知识产权问题产生过深深地矛盾。在导学案后面的资料里有所介绍。解方程就能解一切，而函数也是y的一次方程。所以当五次以上方程及指数 方程、对数方程等不能用大数运算求解的时候，数学家们转而把f (x) =0的问题与y=f (x)联系起来，寻求几何的解法。当求不出具体的根的时候，退而求 其次，能否圈定根的一个范围也好。所以本章我们对函数的应用主要包括两个方面：一是运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题；二是利用函数的图象和性质解决方程的根的相关问题。【设计意图】通过图形计算器的使用，使学生迅速能够建立方程与函数之间 的联系，并积极解决未知问题，获得成就感；通过历史的追溯，了解中外数学发
11、展史上方程求解漫长而曲折的过程， 感受数学文化。让学生感知科学的发展和进 步都不是一蹴而就的，一个看似小小的进步都经历了几代人的努力。 激发学生的 探索热情和学习兴趣，了解数学文化，感知数学之美。例2、不用图形计算器，你能判断方程 2x + 3x - 7 = 0有实根吗？【学生活动】解决问题，积极展示生甲：方程变形为2x = -3x+7,即是求函数y = 2x与y = 3x + 7 的交点的横坐标【设计意图】在解题的过程中，进一步体会数形结合思想和函数与方程的思 想，培养解决实际问题的能力。问题：既然这个方程有根，那么根是正是负？在哪个区间范围？再进一步， 能求出根吗？这将是我们本章后面所要研究的通过函数的性质用二分法求解方程的近似 解，高中阶段我们还将在选修2-2中还将用牛顿迭代法求方程的近似解。（四）课堂小结：【学生活动】反思总结，积极交流函数应用：1、解决实际问题；2、求解方程的根。思想方法：1、函数与方程的思想；2、数形结合思想。图形计算器的使用，便捷了我们的分析和计算，提升了解决问题的能力。（五）作业布置：1 、教材P88,练习1、2;2 、讨论函数f （x） = x2 - 2x - 3 - a的零点个数。3 、查找史料，以小组为单位，搜集整理中国数学史上对方程求解做出卓越贡献的人物事迹
