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1、有限群的另一定义 群同态 变换群定理1 一个有乘法的有限集G是群1、关于乘法是半群；2、消去律成立。证明：“”设G=，构造，由半群的定义可知，由消去律，当，所以，即，所以，即方程在G里有解，同理方程在G里有解，所以G是一个群。因此也可用半群和消去律来定义有限群。由有限集A的代数运算可用一个运算表给出：从表上可看出代数运算的许多性质，如1、是代数运算表中所有；2、适合交换律表中关于主对角线对称的元相等；3、适合左(右)消去律A中每个元在表的各行(列)都出现且只出现一次；4、是A的左(右)单位元所在的行(列)与顶行(左列)一致； 5、的左(右)逆元所在的行与所在的列相交处是单位元。因此利用运算表可
2、以帮助我们判断一个有限集合是否构成群，但结合律的检验比较麻烦，不能从表中看出。在第一章中，我们讨论了集合的同态映射，这里我们要在两个群中讨论同态映射。定义：若G，G1是两个群，若存在一个G到G1的同态满射，则称G与G1同态。定理2 G是一个群，群G与G1对它们的乘法运算同态，则G1也是群。证明：设是G到G1的同态满射，则使，所以；又有；由G是一个群，,设，则有，所以G1有单位元；使，使，同理，所以G1中每一个元都有逆元。所以G1是一个群。注：定理2的逆命题不成立，即若是G到G1的满同态，G1是群，则G不一定是群。如零映射。但如果映射是同构映射，则只要其中一个是群，那么另一个也是群。定理3 设G
3、，G1是两个群，在G到G1的同态映射之下，G的单位元的象是G1的单位元；G的元a的逆元的象是象的逆元；即，有限。若G，G1是两个群，存在G到G1的同构映射，则称群G与G1同构，记。*例4 设Un是所有n次单位根按普通的乘法作成的群，是n次单位原根，令，则是Un到模n的剩余类加群Zn的同构映射。到目前为止，我们讨论的群都是比较简单的或一般的群，这一节，下面我们要讨论一个具体的群，这个群一方面本身非常重要，另一方面它也给了一个非交换群的例子。定义 设A是一个非空集合，A到A的映射称为A的变换，A到A的满射称为A的满变换，A到A的单射称为A的单变换，A到A的双射称为A的一一变换。 定理4 设G是A的
4、若干个变换组成的集合，且，若G对于变换的乘积作成群，那么G只包含A的一一变换。证明：，因为G是群，所以存在，所以是满射；若，则，所以是单射。从而是一一变换。定义：A的若干个一一变换构成的群G称为变换群。定理5 一个集合A的所有一一变换构成一个变换群，记E(A)。例1(P48例4) 设A是一个平面上所有点构成的集合，那么平面的一个绕一个定点的旋转可以看成A的一一变换，设G是包含所有绕一个定点的旋转，那么G是一个变换群。设表示转角的旋转，则有; 结合律显然成立；结合律显然成立；。所以G是一个变换群。但G不包含A的全部一一变换。所以给了一个集合A，除了最大的变换群E(A)外，A的确还有别的较小的变换
5、群。变换群显然不是交换群，因为变换不满足交换律。变换群还告诉我们非交换群的存在。定理6 任何一个群都同一个变换群同构。证明：设G1=，则G1是G的一些变换组成的集合，建立一个G到G1的映射,下面证明是G到G1的同构映射。所以，是同态映射；，使，所以是一个满射；若，则，所以有，由G是一个群，满足消去律，即，所以是单射。因此G与G1同构，因为G是一个群，所以G1也是群。又因G是群，所以存在单位元，且，所以，由定理2，G1是一个变换群。例2 P505证明一：设V是R上的一个n维向量空间，由定理4，E(V)是一个变换群，取V的一个基，则E(V)的每一个变换与一个n阶可逆矩阵一一对应，若设G是R上所有n
6、阶可逆矩阵构成的集合，则，所以G是一个群。证明二：由群的定义证明满足封闭性；结合律；单位元；逆元。所以构成群。作业：P50 1，4， P441，置换群上一节讨论了变换群，即集合A到A的所有一一变换构成的群E(A)及它的非空子集构成的群，当A是有限集时，通常记A=。定义：一个包含n个元的有限集的一一变换称为(n次)置换；一个包含n个元的有限集A的若干个一一变换构成的群称为n次置换群；一个包含n个元的有限集A的所有置换构成的群称为n次对称群，记Sn。设是A的一个置换，则可记作而将与和具体表示的内容无关，只与有关，因此常将置记作这里确定的是A的每一个元的像，与第一行的n个元的排列次序无关，如下列置换
7、是同一个置换。由对称群与排列的定义可得：定理1 n次对称群的阶是！。例1 二次对称群S2的阶是2，其元为，；三次对称群S3的阶是6，其元为，而且=，=所以S3是一个非交换群。为了表示上方便，置换还可以用另外一种方法表示，先引进一个新的符号。定义：设在n次置换下，其余的数字(如果还有的话)保持不变，则称是一个循环置换，记作1循环置( j )是恒等置换，2循环置换又称为对换。例2 ；。一个置换不一定是循环置换，如，但=(1 2)(3 4)。定理2 每一个n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字的(不相连的)循环置换的乘积。证明：对变动的个数t作归纳法证明。若t=0，则 是一个恒等变换，定理成立。设
8、0ts时定理成立。当t=s时，任取被变动的数字，并设，由于总共变动s个数字，从而一定存在r，使中的某一个，由假设，这样我们就得到了一个循环置换。若r=s,则是一个循环置换，若rs，则= =其中使s-r个数字变动，而且这些变动的数字不同于，由归纳法假设可以表为互不相交的循环置换的乘积。如6次置换。 由定理2可得：每一个次置换都可表成对换的乘积。证明 由定理2，每一个置换可以写成不相连的循环置换的乘积，因此只要证明循环置换可分解。设=()是一个循环置换，当时，；当时，已是一个对换；当时，。P56 5 证明：若1在中出现，则：=；若1不在中出现，则：=()=。如(234)=(24)(23)=(24)(13)(12)(13)=(14)(12)(14)(13)(12)(13),此例表明一个置换的乘积的方法不是唯一的，但有下面的结论：定理3 循环置换具有下列性质：1、()的阶是r；(留作习题)2、()-1=();3、奇循环置换是偶置换，偶循环置换是奇置换；4、两个不相交的循环置换的乘积可以交换。定理6 每一个有限群都与一个置换群同构。作业：P56 1，2，4
